番外編 円の接線

番外編　円の接線

原点を中心とする半径rの円があり、この円周上の点(x₀,y₀)を通る接線の方程式を求めることにする。

接線と円の接点をA(x₀,y₀)とし、接線の傾きをmとする。接線と半径は、接点において直交する。OとAを通る直線の傾きをm'とすると

　　mm'=−1

という関係がある。

m'は

　　

よって、

　　

したがって、接線の方程式は

　　

この導出は少し傷がある。

というのは、この導出では、接線の方程式をy=mx+nと仮定して議論を進めている。

しかし、(±r,0）での接線x=±rは、上の式に(x₀,y₀)=(±r,0)を代入すると

　　

なるので、結果オーライということで誤魔化す(^^ゞ

この傷が気になる人はベクトルの内積を使って、次のように求めるいい。

　　

導出方法は、どうであれ、原点を中心とし半径rの円の(x₀,y₀)における接線の方程式は次のようになる。

　　

問題１　次の場合における接線を求めよ。

（１）　点（−3,2)を通り、円x²+y²=4に接する。

（２）　円x²+y²=169の周上の点(5,−12)における接線。

【解】

（２）　①より

　　

（１）　接線がy軸に平行でないのは明らか。

よって、接線の傾きをmとすると、接線の方程式は

　　

これが中心(0,0)、半径2の円に接するので

　　

よって、接線の方程式は

　　

（解答終わり）

 

問題２　x²+y²−6x−4y+9=0と点(−2,1)があるとき、点からこの円に引いた接点の長さを求めよ。

【解】

　　

よって、これは中心(3,2)で半径2の円。

図のように点をとると、求めるのはAB、ADだけれど、これはAB=ADなので、どちらか一方を求めればよい。

２点間の距離の公式より

　　

で、△ABCは∠B=90°の直角三角形なので

　　

よって、接線の長さは√22。

（解答終わり）

この問題は、接線の方程式を求めよとか、接点を求めよと書いていないので、これでいいにゃ。

そして、まとめと言える次の問題。

問題３　２点P、Qがある。点Pの座標は(x₁,y₁)、点Qの座標は(x₂,y₂）である。

（１）　直線PQの方程式を求めよ。

（２）　点P、Qの中点の座標を求めよ。

（３）　P、Qの直径の両端とする円の方程式を求めよ。

（４）　円上の点P(x₁,y₁)での、この円の接線の方程式を求めよ。

【答】

　　

どうして、（１）、（４）になるかわからないって？

ちょっと式の形が変わると、それに幻惑されるのは良くないにゃ。

x₂≠x₁のとき、２点(x₁,y₁)と(x₂,y₂）を通る直線の式は

　　

になるじゃないか。

そして、この形にすると、x₂=x₁の時にも、この公式を使うことができる。だから、この形にするのには意味があるんだケロ。

（４）は、PQの中点をO、接線上の点Rとすると

　　

になる。

　　

ゆえに、

　　

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