第２４回 ２円の共通接線の方程式を求める

第２４回　２円の共通接線の方程式を求める

問題

２つの円C₁：x²+y²=4、C₁:(x−4)²+y²=1の両方に接する直線は全部で４つある。この４本の直線を求めよ。

解法は幾つかありますが、一番簡単なのは次の公式を利用する方法だろう。

ax+by+c=0と点(x₀,y₀)の距離dは

　　

である。

これを使ってこの問題を解いてみることにするにゃ。

【解】

C₁上の点(s,t)に接する直線の方程式は

　　

となる。

点(s,t)はC₁上の点なので

　　

でなければならない。

①はC₂の接線だから、C₂の中心(4,0)との距離は1。

よって、直線と点の距離の公式より

　　

②より

　　

また、

　　

だから、これにs=1/2、3/2を代入すると

　　

よって、

　　

この値を①に代入したのが共通接線の方程式で

　　

となる。

これでいいと思うけれど、ちょっと見てくれが悪いので

　　

（解答終わり）

いま、初等幾何をやっているので、初等幾何の知識を使ってこの問題に迫ってみるにゃ。

まず、共通外接線を考えてみる。

２本の共通外接線の交点をAとする。図形の対称性からAがx軸上にあるのは明らかだケロ。

また、円C₁の中心をO₁、円C₂の中心をO₂、そして共通外接線（の一本）と円C₁、C₂の接点をB、Cとする。

接線なのだから半径となす角は直角。このことから、O₁BとO₂Cが平行であることがわかる。そして、C₁の半径は２、C₂の半径は１だケロ。

だから、点Cと点O₂は中点連結定理より、AB、AO₁の中点ということになる。

よって、

　　

このことから、Aは(8,0)であることがわかる。

△ABO₁は直角三角形なので

　　

また、共通外接線とy軸との交点をDとすると、

　　△ABO₁∽△AO₁D

よって、

　　

よって、この直線の傾きが

　　

であることがわかり、

直線の方程式が

　　

上下あるので

　　

と求めることができる。

共通内接線は

　　△ABO₁∽△ACO₂

で、相似比は2:1だケロ。

よって、AはO₁O₂を2;1に内分する。

このことから

　　

で、三平方の定理より

　　

で、△AO₁D∽△ABO₁

　　

よって、直線の方程式は

　　

初等幾何でこの問題を解くことができた。

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