第２５回 三角形の５心

第２５回　三角形の５心

三角形には、三角形の５心と呼ばれる次のようなものがある。

（１）重心
三角形の３中線は一点で交わり、その交点を重心という。重心は中線を２：１に内分する。

【証明】

AB、ACの中点をF、E、BEとCFの交点をGとする。

中点連結定理から

　　

△GBC∽△GFEだから

　　BG:GE=2:1　　①

BC、ACの中点をD、Eとし、AD、BEの交点をHとする。

中点連結定理より、

　　

△GAB∽△GDEだから

　　BH:HE=2:1　　②

①、②より、GとHはACの中線BEを2:1に内分しているので、GとHは同一の点である。

よって、 三角形の３中線は一点で交わり、重心は中線を２：１に内分する。

（２）外心

三角形の３辺の垂直二等分線は一点で交わり、その交点を外心という。外心は三角形の３頂点から等距離にあり、外接円の中心である。

【略証】

ABとBCの垂直二等分線の交点をOとする。

そうすると、△OABはOA=OB、△OBCはOB=OCの二等辺三角形。

よって、OA=OCとなり、△OCAはOA=OCの二等辺三角形。だから、OからACに垂線をおろしその交点をEとすると、二等辺三角形の性質からAE=ECとなる。

したがって、

三角形の３辺の垂直二等分線は一点で交わり、外心は三角形の３頂点から等距離にあり、外接円の中心である。

（３）内心

３頂角の二等分線は一点で交わり、その交点を内心という。内心は三角形の３辺から等距離にあり、この三角形の内接円の中心である。

【証明」

∠ABCと∠ACBの二等分線の交点をIとし、Iから辺BC、CA、ABにおろした垂線の足をD、E、Fとする。

∠ABCの二等分線なので、

　　 ∠IBF=∠IBD

また、

　　∠IFB=∠IDB=∠R

よって、

　　∠BIF=∠BID

IBは共通なので、

　　△IBF≡△IBD

よって、

　　IF=ID

同様に、△IDC≡△IEC

よって

　　IE=ID=IF

斜辺（IA）と他の１辺が等しいので、直角三角形の合同条件より

　　△IAF≡△IAE

よって、

　　∠IAF=∠IAE

となり、AIは∠BACを２等分している。

以上のことから、

３頂角の二等分線は一点で交わり、内心は三角形の３辺から等距離にあり、この三角形の内接円の中心である

（４）傍心

三角形の１つの内角と２つの外角の二等分線は一点で交わり、その交点を傍心という。傍心は３辺またはその延長と等距離にあり、傍接円の中心である。

【証明】

∠Bと∠Cの外角の二等分線の交点をI'とする。さらに、I’からBCと、AB、ACの延長におろした垂線の足をD、E、Fとする。

∠Bの外角の二等分線なので、

　　∠I'BD=∠I'BE

また、

　　∠I'DB=∠IEB=∠R

だから

　　∠BI'D=∠BI'E

BI’は共通なので、

　　△I'BD≡△I'BE

よって、

　　I'D=IE

同様に、

　　△I'CD≡△ICF

より

　　I'F=I'D=I'E

△AI'Eと△AI'Fに注目。

斜辺ABは共通、さらにI'E=I'F、直角三角形の合同条件より

　　△AI'E≡△AI'F

よって、

　　∠I’AE=∠I'AF

だから、AI'は∠BACを二等する。

以上のことより、

三角形の１つの内角と２つの外角の二等分線は一点で交わり、傍心は３辺またはその延長と等距離にあり、傍接円の中心である。

（証明終わり）

傍心は、重心、外心、内心、垂心とは異なり、１つの三角形に３つあることに注意。

（５）垂心

三角形の３頂点から対辺におろした垂線は一点で交わり、その交点を垂心という。

【証明】

図のように、△ABCの各頂点をとおり、AB、BC、ACに平行な直線を引き、交点をP、Q、Rとする。

四角形ABPCは平行四辺形なので、

　　AB=CP

　　AC=BP

になる。

同様に、四角形ARBCに注目すると、これは平行四辺形だから、

　　BC=RA

　　AC=RB

になる。

同様に、

　　AB=QC

　　BC=AQ

よって、A、B、CはRQ、RP、PQの中点。

また、

　　

だから、

　　∠BEC=∠ABR=∠R　　（錯角相等）

つまり、BEはRPの垂直二等分線。

同様に、CF、ADはPQ、QRの垂直二等分線。

△PQRの各辺の垂直二等分線の交点Hは△PQRの外心で、一点で交わる。

よって、

三角形の３頂点から対辺におろした垂線は一点で交わる

（証明終わり）

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