第２６回 内心、外心の問題

第２６回　内心、外心の問題

前回、内心や外心などの三角形の５心を取り上げたので、今回は、内心や外心の問題を解くことで、その理解を深めることにします。

問題１　直角三角形ABC（∠B=∠R）で、AB=3、BC=4、CA=5のとき、この三角形の内接円の半径はいくらか。

三角形の各辺の長さをa、b、c、内接円の半径をr、三角形の面積をSとすると、

　　

という関係がある。

この公式を使うのならば、次のように簡単に内接円の半径rを求めることができる。

【解１】

直角三角形ABCの面積Sは

　　

①より、a=BC=4、b=CA=5、c=AB=3だから

　　

この他に、円と接線の距離を使って次のように解くこともできる。

【解２】
内心IからBC、CA、ABにおろした垂線の足をD、E、Fとする。

円と接線の関係から

　　

となる。

よって、

 

問題２　三角形ABCで、AB=5、BC=6、AC=4である。三角形ABCの内心をIとするとき、△IBCの面積と△ABCの面積比を求めよ。

【解】

△IAB、△IBC、△ICAは高さが内接円Iの半径rに等しいから、その面積比は

　　

よって、△IBCと△ABCとの面積比は

　　

比の計算がピンとこない人は

　　

よって、

　　

だから、

　　

としてもいい。

 

問題３　次の図で、Oは△ABCの外心である。BDはBから辺ACに引いた垂線である。このとき、∠ABD=∠OBCであることを示せ。

この味気ない図を見て解けるなんて考えちゃ〜いけない。

そして、如何にネムネコが読者のために、毎回、わかりやすい図を描いているかをうかがい知ることができるいい問題だにゃ(^^)

円周角の定理を使っていいのならば、次のように解答することができる。

【証明１】

Oは△ABCの外心なので、△ABCの外接円をかく。

∠BOCは円周角の定理より

　　

また、

△OBCはOB=OCの二等辺三角形なので、

　　∠OBC=∠OCB

よって、

　　

また、△ABDでは

　　

①と②より

　　

（証明終わり）

なのだけれど、円周角の定理をまだやっていない。

だから、例えば、次のように証明すればいい。

【証明２】

AOの延長とBCの交点をEとする。

Oは△ABCの外心なので、

　　OA=OB=OC

よって、

　　∠OAB=∠OBA

　　∠OBC=∠OCB

　　∠OAC=∠OCA

外角関係より

　　

・・・

あとは、証明１と同じなので、証明１を見て欲しい。
そして、証明２の前半部分は、円周角の定理を実質的に証明していることになる。

問題４　次の図の△ABCで、Oは外心とする。∠OAC=35°、∠OBA=25°とするとき、△ABCの３つの内角をそれぞれ求めよ。

（答）

∠A=60°、∠B=55°、∠C=65°

解答？

問題３の証明２を読むだけで、この問題はすぐに解けるはず。

△OAC、△OBC、△OCAは全部二等辺三角形！！
これでもわからない人は、この図をプリントアウトして、分度器で角度をはかる。この図は正確なので、分度器で角度を測ることによって角度を求めることができる。そして、なぜ、そうなるのか、考える。

問題５

正三角形の内心をIとし、Iから２辺AB、ACに平行な直線を引き、BCとの交点をそれぞれD、Eとすれば、BD=DE=ECであることを証明せよ。

証明はこの図だにゃ。

Iは△ABCの内心なので、

　　∠IBA=∠B/2=60°/2=30°

ABとIDは平行なので

　　∠BID=∠IBA=30°

よって、

　　BD=ID　　①

同様に

　　∠CIA=30°

　　IE=EE　　②

外角定理より

　　∠IDE=∠IED=60°

なので、△IDEは正三角形。つまり、

　　ID=IE=DE　　③

①、②、③より

　　BD=DE=EC

正三角形の場合、重心、外心、内心、垂心は一致するので、重心、外心の性質を使っても証明できる。

重心をG（内心Iと同一）とする。BG、CGを延長し、CA、ABの交点をP、Qとする。

Gは外心なので、中線BP、CQを2:1に内分する。

これと平行線と比の関係を使ってこの問題を証明することができるので、証明してください。

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