第３３回 方べきの定理の問題

第３３回　方べきの定理の問題

第３３回で出てきた方べきの定理、方べきの定理の逆を使って解く問題を解くことによって、方べきの定理とその逆の理解を深めることを目的とする。

前回の復習をかねて、方べきの定理とその逆を再掲します。

定理　（方べきの定理Ⅰ）

円の２つの弦AB、CDまたはその延長の交点をPとすると

　　

　
定理　（方べきの定理Ⅰの逆）２つの線分AB、CDまたはそれらの延長が点Pで交わるとき、
　　
であるならば、４点A、B、C、Dは同一円周上にある。

定理　（方べきの定理Ⅱ）

円Oの外部の点Pから円Oに引いた接線をTとする。Pを通り円Oに２点A、Bと交わる直線を引くと

　　

定理　（方べきの定理Ⅱの逆）

１直線上にない３点A、B、Tおよび線分ABの延長上に点Pがあって

　　

ならば、PTはA、B、Tを通る円に接する。

 

では、問題。

問題１

次の図のように、点Tで外接する２円がある。

この点における2円の共通接線上に点Pをとり、Pを通る２直線が２円とそれぞれ２点A、BとC、Dで交わっている。

このとき、4点A、B、C、Dは同一円周上にあることを証明せよ。

【証明】

方べきの定理Ⅱから

　　

方べきの定理Ⅰの逆より、４点A、B、C、Dは同一円周上にある。

（証明終わり）

問題２

点Oを中心とする半径２の円内の点Pを通って引いた弦ABについて

　　

のとき、線分OPの長さを求めよ。

【解】

円内の点Pを通る直径をひき、直径の両端をC、Dとする。

OP=xとすると、 CP=2−x、PD=2+xとなる。

方べきの定理より

　　

よって、OP=√3

(解答終わり）

問題２をより一般化すると、次の問題になる。

問題３

中心O、半径ｒの円と１点Pがある。Pを通る直線がこの円と交わる点をA、Bとするとき、

　　

であることを証明せよ。

【証明】

Pを通る直径をひく。

（１）　Pが円の内部にある場合

方べきの定理より

　　

（２）　Pが円の外にある場合

方べきの定理より

　　

（３）　Pが円周上にあるとき、このとき、PA=0またはPB=0。また、PO=rなので

　　

となり、成立。

（１）、（２）、（３）より

　　

（証明終わり）

問題４

△ABCにおいて∠A=2∠Bならば

であることを示せ。

【証明】

BAの延長上にAC=ADとなる点をとる。

AC=ADなので△ACDは２等辺三角形。よって

　　∠ACD=∠D

また、△ACDの内角と外角の関係より

　　∠BAC=2∠ACD　　①

また、問題の条件より

　　

①と②より

　　∠ACD=∠D=∠B

よって、接弦定理の逆よりCDは円のCにおける接線である。

また、∠D=∠Aなので

　　BC=CD

方べきの定理Ⅱを使うと

　　

AD=AC、CD=BCなので

　　

（証明終わり）

 

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