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第37回 落穂ひろい [ネコ騙し数学]

第37回 落穂ひろい


問題1 三角形の高さをh₁h₂h₃、内接円の半径をrとするとき、

  

を証明せよ。

【解】
shotou-37-01.png

三角形の面積をSとすると

  

また、

  

よって、

  

(解答終わり)

 

問題2 三角形の重心をGとするとき、

  

であることを証明せよ。

座標やベクトルの内積を使って解くのが一般的なのだろうけれど、初等幾何の枠内で解くことにする。

その前に、重心と中線定理の復習。

重心 三角形の3つの中線は1点で交わり、この交点を重心という。重心は中線を2:1に内分する。


shotou-37-02.png

中線定理

三角形ABCにおいて、Aから中線AMを引くと

  


この2つを思い出せば、この問題はもう解けたようなもの。


【証明】

重心の性質より、重心Gは中線AM2:1に内分する。

つまり、

  

ここで、△ABCに注目し、中線定理を使う。

  

そして、△GBCに対して、中線定理を使う。

  

①にこの結果を代入すると、

  

(証明終わり)

問題3 △ABCがあって、AB=2AC=√3、∠BAC=30°である。

(1) 内接円の半径を求めよ。

(2) 内接円と辺ABの接点をDとする。ADの長さを求めよ。

【解】
shotou-37-03.png

(1) 余弦定理よりBC=1

よって、△ABCは∠C=90°の直角三角形(∠B=60°)。

ABCの面積S

  

内接円の半径をrとすると

  


(2) △DBIは∠BDI=90°の直角三角形。Iは内心なので、

  

よって、

  

したがって

  

(解答終わり)

あるいは、(2)を次のように解くこともできる。

【別解】
shotou-37-04.png

円と2接線の関係より

  DB=FB

である。

  

よって、

  

(別解終わり)

こうすれば、三角関数を使う必要はないね。

(1)で余弦定理よりと書いているけれど、

  

から、△ABCが∠A=30°、∠B=60°、∠C=90°の直角三角形であることは明らか。

だから、

  

とすぐに出てくる。

この直角三角形の線分比は中学校で出てくるので、この問題は中学数学の範囲で解くことができる問題であった。

 ――(2)は少し変えてあるけれど、問題2、問題3は、大昔の大学入試問題です――
タグ:初等幾何

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