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番外編 ついでだから平面ベクトルの問題を [ネコ騙し数学]

番外編 ついでだから平面ベクトルの問題を


前回の流れを受けて、平面ベクトルの問題をいくつか解いてみることにする。


問題1 平面上に2定点ABがあり、その間の距離は2aである。

動点Pに対して

  

であるとき

(1) 点Pの動く図形を書け。

(2) の最大値を求めよ。

【解】

(1)

  

よって、

  

したがって、線分ABを直径とする半径aの円である。

(2)
bangai-vec-01.png
BAP=θとする。

  bangai-vec-siki-01.png

よって、θ=π/4のとき最大で、最大値は2√2a

(解答終わり)

これは、文系向けの大学入試問題なので、「三角関数の合成公式なんて習っていない」と文句がつくといけない。

cosθ+sinθの最大値をどうやって求めるか。

  

を使う。

x=cosθy=sinθとすると、

  

のとき、x+yの最大値を求めよという問題になる。

x+y=kk>0)とすると、kの最大値は、この直線と単位円が接するときなので、

  

と求めることができる。

問題2 平面上の、定点Oを始点とするベクトル

  

を満たすとき、の終点をを頂点とする三角形はどのような三角形か。

【解】

  

とする。

  

よって、のなす角度は120°

同様に、のなす角度も120°。したがって、この三角形は正三角形。

(解答終わり)

ベクトルの内積なんて知らないという人用のの解答は、

【別解】

より、Oは、この三角形の外心。

また、Gをこの三角形の重心とすると

  

よって、外心Oと重心Gが一致する。したがって、この三角形は正三角形である。

(別解終わり)


問題3 平面上にOABが与えられている。このとき、次の集合を図示しろ。

  bangai-vec-siki-03.png

【解】

(1) 境界を含む。

bangai-vec-03.png

(2) 境界を含む。

bangai-vec-04.png

(解答終わり)


この(2)の図を頭に入れて、次の問題を解くことにする。

問題4

三角形ABCの内部に点Pがある。次のことを証明せよ。

(1) のとき、△PCA:△PAB=m:n

(2) 点ABCとは異なる点をOとする。正の数lmnについて

  

であるとき、△PBC:△PCA:△PAB=l:m:nである。

【解】

(1) 点Pは△ABCの内部なので、0<m<10<n<10<m+n<1
bangai-vec-06.png

BCn:mに内分する点をQとすると

  

よって、点Pは、AQの線分上にある。

したがって、

  


(2)

  

(1)より

  

同様に、

  

したがって

  

①と②より

  



タグ:ベクトル

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