番外編 さらにベクトルの問題などを

番外編　さらにベクトルの問題などを

前回、次の問題を解いた。

問題４

三角形ABCの内部に点Pがある。次のことを証明せよ。

（１）　のとき、△PCA:△PAB=m:n

（２）　点A、B、Cとは異なる点をOとする。正の数l、m、nについて

　　

であるとき、△PBC:△PCA:△PAB=l:m:nである。

この類題を一つ。

問題　△ABCに対して、

　　

となる点Pはどんな点か。この時、△PBC、△PCA、△PABの面積比を求めよ。

これは、問題４の結果を用いるとすぐに答えが出る。

②の両辺を3+4+5=12で割る。

　　

だから、

　　

となる。

①と③は形が違うって？

だったら、こうする。

　　

だから、この問題の面積比は、前回の問題４の結果を使って

　　

とすぐに出てくる。

しかし、こんなことを知らなくても、この問題を解くことはできる。

点A、B、C、Pの位置ベクトルをとする。

そうすると、②は

　　

となる。

ここで閃く！！

　　

とする。

　　

とすると、これは線分BCを5:4に内分する点をあらわす。この点をDとする。

これを使って④を書き換えると、

　　

だから、Pは線分ADを9:3に内分する点であることがわかる。

点の位置関係は図のようになり、このことから、△PCA:△PBA=4:5

であることがわかる。

また、

　　

同様の議論をすると、

　　△PBC:△PCA=3:4

となり、

　　△PBC:△PCA:△PBA=3:4:5

となる。

あるいは、AP:PD=9:3だから、

　　

また、

　　

よって、

　　

と、この比を求めることができる。

 

「⑨ネコ、お前、何か、まだ隠し持っているんじゃないか？」

「濡れ衣だにゃ。AD:PD=(9+3):3=12:3だから、

　　

とすぐに求まるなんて隠していないにゃ。

残りは9/12だから、

　　

よって、

　　

なんて方法は思いついていないにゃ。信じて欲しいケロ。」

 

タグ：ベクトル