番外編 数学的帰納法を使って、相加平均≧相乗平均≧調和平均 [ネコ騙し数学]
番外編 数学的帰納法を使って、相加平均≧相乗平均≧調和平均を!!
問題1 次の不等式を証明せよ。ただし、文字はすべて正の数である。
相加平均≧相乗平均を使っていいというのならば、
が成立するので、
とすぐに証明できる。
しかし、大学入試でこのような証明が許されるのかといえば、駄目だろうね(^^)
だから、この問題の場合は、次のように数学的帰納法を使って証明すべきなのだろう。【証明】
(Ⅰ) n=1のときよって、n=1のとき、①は成立する。
(Ⅱ) n=kのとき
が成立すると仮定する。
(Ⅲ) n=k+1のとき
ここで、
この結果を③に代入すると
となり、n=k+1のときにも成立する。
数学的帰納法より、すべての自然数nについて
である。
(証明終わり)
この不等式を使うと、
や
という不等式を作ることができる。
問題2 を正の数とする。
(1) x>0のとき、次の関数の最小値を求めよ。(2) 上の結果を用いて、数学帰納法によって、次の不等式を証明せよ。
【解】
(1) f(x)を微分する。
とおくと、x<αではf'(x)<0、x>αでf'(x)>0なので、x=αのときf(x)は最小。
よって
(2) n=1のとき、だから、成立。
n=kのとき
と仮定する。
(1)の結果より、x>0ではf(x)≧f(α)
、を上の式に代入すると、
となり、n=k+1の時にも成立する。
よって、数学的帰納法により、すべての自然数nに対して
である。
(解答終わり)
そして、この結果を使うと、
この逆数をとると、
この左辺は調和平均と言われるもので、このことから、調和平均≦相乗平均≦相加平均であることがわかる。
で、問題1に戻って
!!
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