ベクトル 円の接線の方程式

ベクトル　円の接線の方程式

前回のベクトルを用いた円の方程式に引き続き、ベクトルを用いた円の接線の方程式の表現形式について説明することにする。

原点Oとする平面上の動点Pの位置ベクトルをとする。この平面上で、中心、半径rの円

　　

があり、この円周上の点P₁におけるこの円の接線の方程式は、とすると

　　

である。

P₁における円Cの満たすべき条件は、

　　P₁P⊥CPまたはP=P₁

である。

　　

であるから、P₁P⊥CPを内積を用いて表現すると、

　　

となる。
　　

になる。

また、P=P₁のとき、

　　

だから、①を満たす。

よって、点P₁における円Cの接線の方程式は

　　

である。

原点Oを中心とする半径rのx²+y²=r²の接点P₁(x₁,y₁)における接線の方程式は

　　

になるという話をした。原点が円の中心なので

　　

と、①を使って、この接線の方程式を簡単に求めることができる。

同様に、より一般のC=(a,b)を中心とする半径rの接点P₁(x₁,y₁)における接線の方程式も

　　

と簡単に求めることができる。

ちなみに、

　　

のときの内積は

　　

である。

問題　平面上で、を定点、を動点の位置ベクトルとするとき、

　　

はどのような曲線をあらわすか。また、この曲線上の点における接線は

　　

であることを証明せよ。

【解】

　　

よって、原点と点を直径とする円である。

円の中心は

　　

⑨より

　　

は円上にあるので

　　

③にこれを代入すると

　　

（解答終わり）

話が後先になってしまったのだけれど、直線ｌ：ax+by+c=0ととは直交する。

直線l上に２点P₁(x₁,y₁)、P(x,y)をとる。これは直線l上にあるので、

　　

この辺々を引くと

　　

となり、直交していることがわかる。

また、に垂直で、点P₁(x₁,y₁)を通る直線の方程式は

　　

となる。P=P₁のときも④は成り立つ。

で、c=−(ax₁+by₁)とすると

　　

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