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ベクトル 位置ベクトル [ネコ騙し数学]

ベクトル 位置ベクトル


原点Oが定まっているとき、点Aの位置は

  

で定められる。このようなベクトルを位置ベクトルという。

だから、

  

になる。

vec-ichi-01.png

ABm:nにわける点Pの位置ベクトルをとすると、

  

つまり、

  

である。

m=nのときは中点で

  

になる。


また、点ABCの位置ベクトルを

  

とするとき、△ABCの重心をGとすると

  

である。

vec-ichi-03.png

ABCの重心Gは、BCの中点をMとすると、重心Gは中線AM2:1に内分する。

vec-ichi-02.png
よって、

  


では、問題を。


問題1 空間に、同一線上にない3点ABCがある。次の条件を満たすとき、点GPABCに対してどのような位置関係にあるか。

  

【解】

ABCGPの位置ベクトルを

  

とする。

(1)

  

よって、Gは△ABCの重心である。

(2)

  

よって、PAB1:2に内分する点である。

(解答終わり)


問題2 空間に3点OABがある。点Pが直線AB上にあるための必要十分条件は、次の式が成り立つことであることを証明せよ。

  

【証明】

Pが直線AB上にあるならば、

  

となるtが存在する。

  

s=1−tとすると

  

逆に、

  

であるとすれば、s=1−tだから

  

となり、点Pは直線AB上に存在する。


タグ:ベクトル

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