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ベクトル ベクトルのなす角とベクトルの垂直 [ネコ騙し数学]

ベクトル ベクトルのなす角とベクトルの垂直


ベクトルのなす角をθとする。

このベクトルの内積は

であり、であるとき、

になる。

また、の必要十分な条件は、のとき、、つまり


である。



問題1 △ABCと点Oについて、次のことを証明せよ。

OA⊥BCOB⊥CAならばOC⊥ABである。

【証明】

とする。


OA⊥BCから


OB⊥CAから


①と②より


よって、OC⊥ABである。

(証明終わり)

これは、「三角形ABCの3垂線は一点(垂心)で交わる」ことの証明になっている。


問題2 2つのベクトルの大きさが等しいとき、ベクトルは垂直であることを示せ。

【証明】
vec-naiseki3-02.png

条件より

の内積をとると

よって、は垂直である。

(証明終わり)

これは、ひし形の対角線は互いに直交することの証明になっている。


問題3 はともに零ベクトルではなく、

であるとする。

このとき、次の問いに答えよ。

(1) のなす角度を求めよ。

(2) の何倍か。

【解】

vec-naiseki3-03.png

とする。


(1) 
  vec-naiseki3-eq-01.png

よって、θ=120°


(2)

  vec-naiseki3-eq-02.png

よって、√3倍である。

(解答終わり】

とすると、

  

という条件から、OAC、△OBCは正三角形になる。
何故ならば、ベクトルの和の定義よOB=OAで、OA=AC=OBとなって、△OACは正三角形。同様に、△OBCも正三角形。

だから、

  ∠AOB=∠AOC+∠COB=60°+60°=120°

また、

  

OABに対して余弦定理を使うと
  

このように解くこともできる。


問題4 平面上に和が零ベクトルになる3つのベクトルがあって、OA=1OB=2OC=√2である。

このとき、次の問いに答えよ。

(1) のなす角度をθ0≦θ≦π)とするとき、sinθを求めよ。

(2) △OABの面積を求めよ。

(3) △ABCの面積を求めよ。

vec-naiseki3-04.png

【解】

(1) とする。

和が零ベクトルになるので
  vec-naiseki3-eq-04.png

sin²θ+cos²θ=1だから


(2)

  vec-naiseki3-eq-05.png

(3) だから、Oは△ABCの重心(※)。

よって、

  

【解答終わり】

(※)△ABCの重心をGとすると

となり、Oと△ABCの重心Cは一致する。

ABC=3△OABになるのは、COの延長とABの交点をDとすると、Oは△ABCの重心でCD=3ODとなるから。


タグ:ベクトル

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