微分積分 関数の極限の計算

微分積分　関数の極限の計算

§１　関数の極限

変数xの値がある一定の値にかぎりなく近づくことをと書く。そして、xがaに限りなく近づくとき、関数f(x)がbに限りなく近づくことを

または

とあらわし、bをf(x)の極限値という。

次の例のようにf(a)が存在するとは限らないので注意が必要。

例１ はx=1のとき、値は存在しない。

しかし、x≠1のとき

だから、

である。

例２ はx=0のとき、値は存在しない。

よって、

右側からxが0に限りなく近づくことをとあらわすと、このとき

であり、このことを

とあらわし、のx=0における右側極限という。

左側からxが0に限りなく近づくことをであらわすと、このとき

で、このことを

とあらわし、のx=0における左側極限という。

そして、この例のように右側極限と左側極限が一致しないとき、極限値は存在しない。

xがaに右側から近づくことを、左側からaに近づくことをであらわすと約束すると、f(x)のx=aにおける右側極限は

f(x)のx=aにおける左側極限は

とあらわすことができる。

そして、右側極限、左側極限と極限について、次のことが言える。

特に、a=0のとき、をとあらわすことがある。

§２　問題

問題１　次の極限を求めよ。

【解】

（１）　このタイプの問題は、次のように因数分解をし、共通する因数で通分する。

（２）

（３）　このタイプの極限は、次のように分子の有理化をはかってから極限を求める。

（解答終わり）

問題２　次の関係が成り立つように、定数a、bを定めよ。

【解】

のとき、分母のになるので、このとき、分子のにならなければならない。

よって、

よって、
　　
a=8、b=3のとき、この極限は1/6になるので、a=8、b=3である。
（解答終わり）

 

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