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ベクトル 演習問題 [ネコ騙し数学]

ベクトル 演習問題


問題1 △ABCと△PQRの間に、次の関係がある。

  

ABCと△PQRの面積比を求めよ。

【解】
vec-ouyou-04-01.png

  

とする。

  

よって、点PAB2:1に内分する点。

同様に、QBCを、RCA2:1に内分する。

よって、

  


(解答終わり)


問題2 ベクトルがあって、の間に

  

の関係がある。

(1) の内積kを用いて表せ。

(2) 内積の最小値、およびそのときののなす角θ0≦θ≦180°)を求めよ。

【解】

vec-ouyou-04-02.png

(1) だから、

また、

  vec-exe-eq02.png


(2)

  

相加平均≧相乗平均より

  

よって、

  

したがって、内積の最小値は1/2

  

(解答終わり)

 


問題3 円Oに内接する△ABCがある。動点Pが円O上を動くとき、

  

を満たす点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円であることを示せ。

vec-ouyou-04-03.png

【解】

  

とする。

  

ABCの外接円の半径をRとすると、は△ABCの外接円の半径Rであり、点QDを中心とする半径R/2の円周上の点である。

また、

  

より、点Aと点Pが一致するとき、つまり、

  

のとき

  

で、点Qは辺BCの中点と一致し、したがって、点QBCの中点を通過する。

同様に、点Pが点Bに一致するときはCAの中点、点Cと一致するときはABの中点を通る。

以上のことより、点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円である。

(解答終わり)


ABCの重心をGとすると、

  

だから、

  

である。


タグ:ベクトル

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