平均変化率と微分係数 [ネコ騙し数学]
平均変化率と微分係数
§1 平均変化率
関数y=f(x)がx=aからx=bまで変化すると、それに応じてyもf(a)からf(b)に変化する。
その値の変化はxの変化(増分) b−a
yの変化(増分) f(b)−f(a)であり、変化の割合は
である。、これをy=f(x)のx=aからx=bまでの平均変化率という。
グラフでは直線ABの傾きをあらわす。
§2 微分係数
関数y=f(x)のx=aにおける微分係数は
あるいは、
である。
グラフでは、点(a,f(a))における接線ATの傾きをあらわす。
また、接線ATがx軸となす角をθとすると、
§3 微分可能
関数y=f(x)がx=aで微分係数をもつことは極限が存在することである。このとき、f(x)はx=aで微分可能であるという。
を右側微分係数、
を右側微分係数という。
f(x)がx=aにおいて微分可能である必要十分条件は、
が成り立つことである。
§4 問題
問題1 定義に基づいて、x=aにおける微分係数f'(a)を求めよ。
【解】
(1)
(2)
(3)
問題2 関数y=f(x)=x³−4xのx=aにおける微分係数が区間[−1,1]における平均変化率に等しくなるようなaの値を求めよ。
【解】[−1,1]における平均変化率は
よって、
問題3
(1) はx=0で微分可能か
(2) 次の関数f(x)はx=1で微分可能か
【解】
h<0のとき、|h}=−hだから
したがって、微分可能ではない。
(2) h<0のとき
h>0のとき
よって、微分可能である。
(解答終わり)
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