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平均変化率と微分係数 [ネコ騙し数学]

平均変化率と微分係数


§1 平均変化率


graph-010.png

関数y=f(x)x=aからx=bまで変化すると、それに応じてyf(a)からf(b)に変化する。

その値の変化は

  xの変化(増分) b−a

  yの変化(増分) f(b)−f(a)

であり、変化の割合は

  

である。、これをy=f(x)x=aからx=bまでの平均変化率という。

グラフでは直線ABの傾きをあらわす。


§2 微分係数


関数y=f(x)x=aにおける微分係数

  

あるいは、

  

である。

グラフでは、点(a,f(a))における接線ATの傾きをあらわす。

また、接線ATx軸となす角をθとすると、

  



§3 微分可能

関数y=f(x)x=aで微分係数をもつことは極限

  

が存在することである。このとき、f(x)x=a微分可能であるという。

  

右側微分係数

  

右側微分係数という。

f(x)x=aにおいて微分可能である必要十分条件は、

  

が成り立つことである。


§4 問題


問題1 定義に基づいて、x=aにおける微分係数f'(a)を求めよ。

  

【解】

(1)

  


(2)

  


(3)

  



問題2 関数y=f(x)=x³−4xx=aにおける微分係数が区間[−1,1]における平均変化率に等しくなるようなaの値を求めよ。

【解】

  

[−1,1]における平均変化率は

  

よって、

  


問題3

(1) x=0で微分可能か

(2) 次の関数f(x)x=1で微分可能か

  

【解】

(1)

graph-012.png


  

h>0のとき、|h|=hだから

  

h<0のとき、|h}=−hだから

  

したがって、微分可能ではない。

(2) h<0のとき

  

h>0のとき
  bibun-eq-01.png

よって、微分可能である。


graph-011.png

(解答終わり)
タグ:微分積分

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