微分係数と微分可能性の問題

微分係数と微分可能性の問題

問題１　関数f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)が存在するとき、つぎの極限値をa、f(a)、f'(a)を用いて表せ。

　　

【解】

（１）

　　

h→0のとき

　　

よって、
　　

（２）　x=a+hとすると、h=x−a。

よって、x→aのとき、h→0。
　　

（解答終わり）

（２）は、次のように解くこともできる。

【別解】

　　

よって、

　　

（別解終わり）

 

問題２　関数f(x)が任意の実数x,yに対して常に

　　

を満足しているとき、次の問いに答えよ。

（１）　f(0)を求めよ。

（２）　f'(0)=0として、x=aにおける微分係数f'(a)を求めよ。

【解】

（１）

　　

にx=y=0を代入すると、

　　

（２）

　　

よって、

　　

（解答終わり）

（２）より、問題２の関数は、x=0で微分可能ならば、任意の点aで微分可能なことが分かる。

また、（２）より、f(x)=x²である。

問題３　次の関数の連続性と微分可能性について論ぜよ。

　　

【解】

（１）

　　

よって、 となり、f(x)はx=0で連続である。

x≠0のとき

　　

x→0のとき、sin(1/x)は振動し収束しないので、f(x)はx=0で微分可能でない。

（２）

　　

よって、g(x)はx=0で微分可能である。

x=0で微分可能だから、g(x)はx=0で連続である。

（解答終わり）

定理

f(x)がx=aで微分可能ならば、x=aで連続である。

【略称】

　　

よって、x=aで微分可能ならば、x=aで連続である。

タグ：微分積分