微分積分 曲線の接線の問題

微分積分　曲線の接線の問題

問題１　曲線y=x³の上の点Pにおける接線が、x軸、y軸と交わる点をそれぞれQ、Rとすれば、QはPRの３等分点であることを示せ。

【解】

y'=3x²だから、P(a,a³)（a≠0）における接線の方程式は

　　

y=0とし、x軸との交点を求めると

　　

x=0とし、y軸との交点Rを求めると

　　

PRを1:2に内分する点の座標(x,y)を求めると

　　

となり、点Rと一致する。

よって、QはPRの３等分点である。

（解答終わり）

 

問題２　曲線y=x²+1上の任意の点Pにおける接線が曲線y=x²と交わる点をQ、Rとすると、PはQRの中点であることを証明せよ。

【解】

y'=2xだから、点P(a,a²+1)における接線の方程式は

　　

y=x²との交点を求めるために①を代入すると

　　

この２次方程式の解をα、β、さらに、交点をQ(α,α²)、R(β,β²)とすると、中点は

　　

である。

また、２次方程式の解と係数の関係より

　　

よって、

　　

QRの中点は

　　

となり、Pと一致する。

よって、PはQRの中点である。

（解答終わり）

 

問題３　曲線y=x²の直交する２つの接線の交点はどのような線上にあるか。

【解】

y'=2xだからA(a,a²)における接線の方程式は

　　

同様に、B(b,b²)における接線の方程式は

　　

①と②は直交するので

　　

①と②の交点を求めると

　　

よって、交点は上にある。

（解答終わり）