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導関数 [ネコ騙し数学]

導関数


§1 導関数の定義


区間Iで定義された関数f(x)Iの全ての点で微分可能であるとき、f(x)I微分可能であるという。また、このとき

  

導関数という。

y=f(x)の導関数を

  

などの記号であらわす。
xの増分、y=f(x)の増分をそれぞれΔxΔyであらわす。つまり、

  

で、

  

である。また、f(x)の導関数を求めることをf(x)微分するという。

 


問 導関数の定義にもとづいて、つぎの導関数を求めよ。

(1) c (cは定数)

(2) x+1

(3) 

(4) 

(5) √x

【解】

(1) f(x)=c (定数)とすると

  

よって、(c)'=0

(2) f(x)=x+1とすると

  

よって、(x+1)'=1


(3) f(x)=x²とすると

  


(4) f(x)=1/xとすると

  


(5) f(x)=√xとすると、

  

(解答終わり)

 


問題1 数学的帰納法を用いて、次のことを証明せよ。

nが正の定数のとき

  

である。

【証明】

  

とする。

n=1のとき

  

また、n=1だから

  

となり、n=1のとき、成立する。
n=k
のとき、成り立つものとする。すなわち

  

n=k+1のとき
  doukansuu-eq01.png

よって、

  doukansuu-eq02.png

したがって、n+k+1のときにも成立する。

以上のことより、数学的帰納法によって

  

である。

(証明終わり)


§2 導関数の公式

定義に従って、導関数を求めること、を微分することは面倒なので、実際に次の公式が使用される。

 

  

なお、ここでcは定数、nは正の整数である。

問 次の関数を微分せよ。

(1) y=3x+2

(2) y=ax³−bx (abは定数)

【解】

  

(解答終わり)

問の(4)の結果

  

と導関数の公式

  

を使うと、

  

を導くことができる。

f(x)=g(x)=1/xとおくと、

  bibun-siki-2.png

となる。

については、問題1と同様に数学的帰納法を使う。


【略証】

n=1のとき

  

で成立。


n=k
のとき

  

と仮定する。

n=k+1のとき

  

であり、n=k+1でも成立する。よって、数学的帰納法により

  

である。

(略証終わり)

つまり、nが0以外の整数のとき、次の微分公式が成り立つことが証明された。





タグ:微分積分

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