微分積分 平均値の定理 [ネコ騙し数学]
微分積分 平均値の定理
この平均値の定理を証明するためには、次のロールの定理が必要である。
ロールの定理
f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能とする。f(a)=f(b)であるならば、となる点cがある。
【証明】
f(x)は閉区間[a,b]で連続だから、[a,b]で最大値と最小値をとる。
f(x)が定数ならばf'(x)=0なので定理が成立。f(x)が定数でなければ、f(a)=f(b)とは異なる最小値または最大値のいずれかがaとbの間(a<c<b)に存在し、これをf(c)とする。
点cで微分可能だからf(c)が最大値であるとき
よって、
f(c)が最小値であるときも同様である。
(証明終わり)
平均値の定理
関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能であるならばとなるcが少なくともひとつ存在する。
幾何的には、図のように、曲線上の2点A、Bを結ぶ線分ABに平行な接線がその2点で少なくとも1本ひけることを意味する。
【証明】
とし、
とする。
g(x)は[a,b]っで連続、(a,b)で微分可能であり、g(a)=g(b)=0である。よって、ロールの定理より
となる点cが存在する。
したがって、
となる点cが存在する。
(証明終わり)
とおくと、0<θ<1となり、平均値の定理を次のように書き換えることができる。
さらに、h=b−aとおくと
定理
f(x)、g(x)を区間Iで微分可能な関数とする。f'(x)がIでつねに0であるならば、f(x)は定数である。Iでつねにf'(x)=g'(x)ならば、f(x)−g(x)はIで定数である。【証明】
(前半の証明)a∈Iである点aを一つとる。
平均値の定理より、x∈Iの任意の点aに対して、aとxの間にとなる点cが存在する。
c∈Iだから条件よりf'(c)=0で、
よって、f(x)はIで定数である。
(前半の証明終了)
(後半の証明)
h(x)=f(x)−g(x)とおくと、Iでh(x)は微分可能。Iでつねにf'(x)=g'(x)だから
h'(x)はIでつねに0である。
よって、h(x)=f(x)−g(x)は定数である。
(後半の証明終わり)なぜ、この定理を紹介したかというと、不定積分の公式
の理論的根拠になるからです。
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