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関数の最大・最小の応用問題 [ネコ騙し数学]

関数の最大・最小の応用問題


問題1 1辺の長さ4cmの正方形の厚紙の4隅から正方形を切り取って箱を作るのに、その容積をできるだけ大きくするには、1辺が何cmであればいいか。

【解】

切り取る正方形の1辺をxcm0<x<2)とすると、容積V

  

Vの増減表は


x



0





2/3





2



V'



 





0





 



V



0



増加



128/27



減少



0




よって、容積が最大なのはx=2/3cmのとき。

(解答終わり)


問題2 曲線y=2x−x²のグラフと、x軸より上(y>0の部分)にあって、x軸に平行な直線との交点をPQとする。OPOQOは原点)を2辺とする平行4辺形の面積の最大値を求めよ。


fig-032.png

【解】

x軸に平行な直線y=a0<a<1)と曲線y=2x−x²との交点のx座標を求める。

  

よって、△OPQの面積は

  

したがって、平行四辺形の面積S

  

根号の中を

  

とおき、この増減を調べる。

  

増減表を書くと


a



0





2/3





1



f'(a)



 



+



0





 



f(a)



(0)



増加



4/27



減少



0)



よって、a=2/3のときf(t)は最大でf(2/3)=4/27が最大値。

したがって、Sは、a=2/3のとき最大で、最大値は

  

である。

(解答終わり)



問題3 直径ABの半円がある。この半円に図のように台形ABQPを内接させるとき、その台形の面積の最大値を求めよ。AB=2rとする。

【解】

fig-033.png

半円の中心をOとする。

台形の高さはrsinθPQ=2rcosθ

よって、台形の面積S

  

S>0だから2乗しても大小関係が変わらない。また、rは定数だから

  

の値を調べる。

cosθ=xとすると、0<x<1だから

  

これを微分すると

  


よって、x=1/2θ=60°)のときに最大で、最大値は


graph-040.png

(解答終了)


問題4 半径1の定円Oの周上に1点Aが与えられている。Aを中心とする円が、直径Oの直径AA'と交わる点をR、円Oと交わるを点PQとするとき、四角形APRQの面積の最大値を求めよ。

【解】

fig-034.png

A'AP=θ0°<θ<90°)とする。

PAA'を直径ととする円周上の点なので∠APA'=∠R

よって、

  

よって、四角形APRQの面積S

  

sinθ=x0<x<1)とすると、cos²θ=1−sin²θだから

  

よって、

  

したがって、x=√3/3のとき、Sは最大で、

  

が最大値である。

graph-041.png

(解答終わり)


タグ:微分積分

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