不定積分の問題 [ネコ騙し数学]
不定積分の問題
問題1 xの関数について次のことが成り立つものとする。
ただし、を満足するとする。
(1) 導関数f(x)を求めよ。(2) f(x)を求めよ。
(3) f(x)の極値を求めて、グラフの概形をかけ。【解】
(1)
(2)
f(0)=1なので、C=0
よって、
(3) f'(x)=4(x³−x)=4x(x+1)(x−1)
増減表はx | … | −1 | … | 0 | … | 1 | … |
f'(x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
f(x) | 減少 | 0 | 増加 | 1 | 減少 | 0 | 増加 |
問題2 関数f(x)、g(x)が、任意の実数s、tに対して、常に
を満たすとき、f(x)、g(x)はどんな関数か。
【解(?)】
s=0を代入すると
よって、
任意のtについて成り立つのだから、g(s)=a。
以上のことより、
f(x)=ax+b、g(x)=a(解答終わり)
しかし、これでは、微分積分を使っていない。
だから、微分を使って、こう解くべきなのだろう。【解】
s=0を代入するとまた、
以上のことより、
f(x)=ax+b、g(x)=a
(解答終わり)しかし、これでは不定積分を使っていない。
何故、この問題が不定積分の問題に紛れ込んでいるのだろう(・・?問題3 関数f(x)の導関数f'(x)が次のように与えられている。
f(x)のグラフは原点を通る連続関数であるとすれば、f(x)のグラフはどうなるか。その略図を書いて、これを示せ。
【解】
x≦−2ではf'(x)=0−2<x≦2で
2<xで
原点を通るのでf(0)=C₂=0。よって、
また、関数f(x)は連続関数だから、③よりx=±2で連続で、f(±2)=(−2)²=4。
よって、①よりC₁=4。
②よりよって、
グラフは次のとおり。
この図から明らかなように、x=0のときf(x)は極小で極小値は0。また、x=2のとき極大で極大値は4。
x=−2のところは、極大値の定義次第で、広義の極大であるけれど、狭義の極大ではない。