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不定積分の問題 [ネコ騙し数学]

不定積分の問題


問題1 xの関数について次のことが成り立つものとする。

  

ただし、を満足するとする。

(1) 導関数f(x)を求めよ。

(2) f(x)を求めよ。

(3) f(x)の極値を求めて、グラフの概形をかけ。

【解】

(1)

  


(2)

  

f(0)=1なので、C=0

よって、

  


(3) f'(x)=4(x³−x)=4x(x+1)(x−1)

増減表は


x





1





0





1





f'(x)





0





0





0





f(x)



減少



0



増加



1



減少



0



増加



graph-053.png

(解答終わり)



問題2 関数f(x)g(x)が、任意の実数stに対して、常に

  

を満たすとき、f(x)g(x)はどんな関数か。

【解(?)】
s=0
を代入すると

  

よって、

  

任意のtについて成り立つのだから、g(s)=a

以上のことより、

  f(x)=ax+bg(x)=a

(解答終わり)


しかし、これでは、微分積分を使っていない。

だから、微分を使って、こう解くべきなのだろう。

【解】

s=0を代入すると

  

また、

  

以上のことより、

  f(x)=ax+bg(x)=a

(解答終わり)

しかし、これでは不定積分を使っていない。

何故、この問題が不定積分の問題に紛れ込んでいるのだろう(・・?

問題3 関数f(x)の導関数f'(x)が次のように与えられている。

  

f(x)のグラフは原点を通る連続関数であるとすれば、f(x)のグラフはどうなるか。その略図を書いて、これを示せ。

【解】

x≦−2ではf'(x)=0

  

2<x≦2

  

2<x

  

原点を通るのでf(0)=C₂=0。よって、

  

また、関数f(x)は連続関数だから、③よりx=±2で連続で、f(±2)=(−2)²=4

よって、①よりC₁=4

②より

  

よって、

  

グラフは次のとおり。


graph-054.png

(解答終わり)


この図から明らかなように、x=0のときf(x)は極小で極小値は0。また、x=2のとき極大で極大値は4

x=−2のところは、極大値の定義次第で、広義の極大であるけれど、狭義の極大ではない。

 


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