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ルジャンドルの多項式 [ネコ騙し数学]

ルジャンドルの多項式


問題1 任意の実数p,qに対して、次の成り立たせるような2次関数f(x)=x²+ax+bを求めよ。

  

【解】
  

任意の実数pqについてつねに成り立つので、

  

この連立方程式を解くと、a=−1b=1/6

よって、

  

(解答終わり)

n−1次以下のすべての多項式Q(x)に関して

  

を満たすn次の多項式n=2の一つを問題1で求めたことになる。

この一般形は

  

C=1/12n=2とすると

  

となり、問題1の答えが出てくる。

何故ならば、

  

だから。

ちなみに、

  

のことで、微分した関数を、さらにもう一度、微分することをあらわす。



問題2 次の条件を満たすxの3次の整式P(x)を求めよ。

(ア) 任意の2次以下の整式Q(x)に対して

  

(イ) P(1)=1

【解】
Q=ax²+bx+c
であるとする。

  

これが任意のabcについて成立するので

  

でなければならない。

P(x)=px³+qx²+rx+sとすると

  

①、③よりq=s=0

また、P(1)=1より

  

②、③を解くと、p=5/2r=−3/2

よって、

  

(解答終わり)

これは、次の公式を使えば出てくるが、

  legendre-001.png

大学入試では、この公式は使えない!!

ちなみに、この多項式をルジャンドル(Legendre)の多項式という。


上の定積分の計算では

  

を使っている。

これは公式というほどのものではなく、

  

からすぐに出てくるものです。

ちなみに、

  

である。
タグ:微分積分

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