ルジャンドルの多項式 [ネコ騙し数学]
ルジャンドルの多項式
問題1 任意の実数p,qに対して、次の成り立たせるような2次関数f(x)=x²+ax+bを求めよ。
【解】
この連立方程式を解くと、a=−1、b=1/6
よって、
(解答終わり)
n−1次以下のすべての多項式Q(x)に関して
を満たすn次の多項式のn=2の一つを問題1で求めたことになる。
この一般形は
C=1/12、n=2とすると
となり、問題1の答えが出てくる。
何故ならば、
だから。
ちなみに、
のことで、微分した関数を、さらにもう一度、微分することをあらわす。
問題2 次の条件を満たすxの3次の整式P(x)を求めよ。
(ア) 任意の2次以下の整式Q(x)に対して(イ) P(1)=1
【解】
Q=ax²+bx+cであるとする。
これが任意のa、b、cについて成立するので
でなければならない。
P(x)=px³+qx²+rx+sとすると
①、③よりq=s=0。
また、P(1)=1より
②、③を解くと、p=5/2、r=−3/2
よって、
(解答終わり)
これは、次の公式を使えば出てくるが、
大学入試では、この公式は使えない!!ちなみに、この多項式をルジャンドル(Legendre)の多項式という。
上の定積分の計算では
を使っている。
これは公式というほどのものではなく、
からすぐに出てくるものです。
ちなみに、
である。
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