定積分の問題 [ネコ騙し数学]
定積分の問題
問題1 aの関数のグラフをかけ。
【解】a≦0では、つねに|a−x|=x−a
0<a<1のとき、
よって
1≦aのでは、つねに|a−x|=a−x
よって
以上のことから、グラフは次のとおり。
(解答終わり)
問題2 a>0のとき、
の最小値を求めよ。
【解】
とする。
0<a<1のとき
よって、
よって、
0<a<1でF(a)は微分可能で
よって、a=1/2で極小。
したがって、0<a≦1ではa=1/2のとき最小。
1≦aのときF(a)は増加。以上のことより、a=1/2のとき、最小である。
(解答終わり)
類題1 実数aに対して
とするとき、f(a)の最小値を求めよ。
【答】
a=1/2のとき最小で、最小値7/32。問題1、問題2、類題1ともに、a=1/2!!
さらに、a>0とし、
も、a=1/2のときに最小。
これは偶然だろうか(^^)
問題3 次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。
【解】
(1) は定数なので、
とおく。
すると、
f(x)を[0,2]で定積分するとAだから
よって、
(2)
は定数なので
とおくと、
になる。
よって、
これを解くとA=3/13、B=17/78
よって、(解答終わり)