ベクトル 直線の方程式2(平面の場合) [ネコ騙し数学]
ベクトル 直線の方程式2(平面の場合)
平面上に、ベクトルに垂直で、位置ベクトルの点P₀を通る直線lがあるとする。
であり、
とすると、
だから、点を通りに垂直な直線の方程式は
となる。
は定数なので、とおくと、上式は
となる。
さらに、とすると、次のようになる。
以上のことから、ax+by=cはに垂直な直線である。
問題1 原点Oから直線lへひいた垂線OHとx軸のなす角がαで、OHの長さがpのとき、lの方程式は
であることを示せ。
【解】
l上の動点をP(x,y)とする。条件より
OH⊥HPだから
p≠0だから、両辺をpで割って
(解答終わり)
問題2 点P(x₀,y₀)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の足をHとするとき、推薦の長さPHを求めよ。
垂線PHは、ベクトルと平行。
垂線の足H(x,y)は直線l上の点なので
よって、
故に、
(解答終わり)
自然な次の別解を。
【別解】
PHは、ベクトルと平行だから、
となる実数tが存在する。
垂線の足Hをの座標を(x,y)とすると
この点は直線l:ax+by+c=0上に存在するので
よって、
(別解終わり)
そして、これで、直線l:ax+by+c=0と点P(x₀,y₀)の距離dの公式
を求め、証明したことになる。
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