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ベクトル 直線の方程式2(平面の場合) [ネコ騙し数学]

ベクトル 直線の方程式2(平面の場合)


平面上に、ベクトルに垂直で、位置ベクトルの点P₀を通る直線lがあるとする。

vec-l2-01.png

すると、平面上の点Pがこの直線l上にある条件は
  

であり、

  


とすると、

  

だから、点を通りに垂直な直線の方程式は

  

となる。

は定数なので、とおくと、上式は

  

となる。

さらに、とすると、次のようになる。

  

以上のことから、ax+by=cに垂直な直線である。



問題1 原点Oから直線lへひいた垂線OHx軸のなす角がαで、OHの長さがpのとき、lの方程式は

  

であることを示せ。

vec-line2-2.png

【解】

l上の動点をP(x,y)とする。

条件より

  

OH⊥HPだから

  

p≠0だから、両辺をpで割って

  

(解答終わり)

 


問題2 点P(x₀,y₀)から直線l:ax+by+c=0におろした垂線の足をHとするとき、推薦の長さPHを求めよ。

【解】

vec-line2-3.png

垂線PHは、ベクトルと平行。

  

垂線の足H(x,y)は直線l上の点なので

  

よって、

  

故に、

  

(解答終わり)

自然な次の別解を。


【別解】

PHは、ベクトルと平行だから、

  

となる実数tが存在する。

垂線の足Hをの座標を(x,y)とすると

  

この点は直線l:ax+by+c=0上に存在するので

  

よって、

  

(別解終わり)

そして、これで、直線l:ax+by+c=0と点P(x₀,y₀)の距離dの公式

  

を求め、証明したことになる。

 


タグ:ベクトル

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