数列の問題

数列の問題

問題　nを２より大きな自然数とする。

（１）　が成り立つことを用いて、

　　

であることを証明せよ。

（２）　さらに

　　

であることを証明せよ。

この問題は、実際に大学入試の問題として出題されたもの。

この問題の（１）はともかく、（２）はしびれてしまう。

入試問題としては適切だとは思わないが、この問題は非常に興味深い問題だと思う。

というわけで、解いてみることにする。

【解】

（１）　nが２より大きな自然数だから

　　

よって

　　

上の式の右辺は初項１、公比1/2の等比数列の１〜n項までの和だから

　　

したがって、

　　

（２）　nが２より大きい自然数だから

　　

よって、

　　

また、

　　

①に代入すると

　　

（解答終わり）

 

この問題を真似すると、

　　

したがって、

　　

よって、

　　

である。

　　

とすると、この数列（級数）はnの単調増加で、かつ、任意のnについて

　　

が成立し、有界で、この数列は収束する。この極限をSとおく、つまり、

　　

とおく。

ところで、マクローリン展開のところで

　　

をやった。

x=1を⑨に代入すると

　　

となり、

　　

である。
だから、

　　

という近似値は、結構、いい近似であることがわかる。

さらに、nが４以上のとき

　　

を利用すると、

　　

となり、Sと小数第４位まで一致する。

参考として、ねこ騙し数学の微分・積分の第１４回ネイピア数の記事をあげておく。

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-03-05

タグ：数列 級数