(a+b)²−(a−b)²をどうやって計算する？

一つ質問するけれど、

　　

をどうやって計算する？

真面目に展開して、

　　

と計算するかい？

それとも、

　　

という公式を使って、

　　

と計算するかい？

この場合は、①の方が楽だけれど、今日のワンポイントゼミ３にでてきた

　　

だと、どうですかね？

あなたは、これを真面目に展開して計算しますか。

オレは、頭の中で、②を使って、

　　

と、頭の中で計算したけれど――頭の中でこんな丁寧な計算しない。「コレとこれが消えて、アッチはアレが消えて」という漠然としたイメージで計算処理――

①の結果、

　　

は、半ば公式のようなもので、③を覚えている人は

　　

とすぐに計算できますがね。

⑧をバカ正直に展開して計算するヒトは、⑨未満と呼ばれてもしょうがない！！

憶えた知識をうまく活用できないのだから、⑨未満と呼ばれてもしょうがないだろう？

そう、思わないかい？

⑨のチルノですら、間違っているけれど、自身の知識を活用している！！

ワンポイントゼミ３ 球の体積

ワンポイントゼミ３　球の体積

半径rの円の体積Vは

　　

このことを定積分を使って求めることにする。

【方法１】

原点Oを中心とする半径rの半円は

　　

これをx軸のまわりに回転して得られる立体は球で、この体積Vとすると

　　

（おしまい）

　　

は偶関数だから、偶関数の定積分の性質から

　　

である。

途中計算でこれを使っている。

【方法２】

原点を中心とする球の方程式は

　　

x=t（−r≦t≦r）での断面（※）は

　　

したがって、平面x=tで切り取られる球の断面は(t,0,0)を中心とする半径の円（の円周とその内部）である。

この断面の面積S(t)は

　　

したがって、球の体積Vは

　　

（おしまい）

方法２の定積分は、方法１の計算のxがtに変わっているだけなので、計算しないけれど、このように計算することもできる。

（※）　x=±rにおける球の断面（？）を半径0の円とみなしている。

厳密には

　　

とすべきところなのだろうが・・・。

 

問題　半径rの円

　　

をx軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、l≧rとする。

【解】

　　

より、

　　

そこで

　　

とする。

求める体積は、薄い水色で示されている、y₁とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積から、斜線部で示されているy₁とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積を引いたもの。

したがって、

　　

となる。

　　

は、原点Oを中心とする半径rの半円の面積だから、

　　

これを①式に代入すると、

　　

（解答終わり）

注目して欲しいのは、この結果。

　　

問題の円を

　　

とすると、πr²はCの面積、2πlはCの重心G――円なので重心と中心は同じ――をx軸を中心にしてグルリと一周させたときに描く軌跡の長さ。

⑨より、問題で求めた円環体の体積Vは

　　円環体の体積V＝（円Cの重心が回転により描く軌跡の長さ）×（円Cの面積）

になっていることがわかる。

これは偶然のことか(^^)

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体積の問題２

体積の問題２

問題１　異なる２つの放物線y=x²、y=(1−a²)x²+aが交わるとき、これらで囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積は、aの値にかかわらず一定であることを証明せよ。ただし、a>0とする。

【解】

異なる２つの放物線の交点のx座標は

　　

交点のy座標はy=1/a。

（１）　0<a<1のとき、体積Vは

　　

（２）　a>1のとき

　　

よって、体積Vはaの値にかかわらず一定で、その値はπ/2である。

（解答終わり）

問題２　曲線y=√xと直線y=mxとで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体とy軸のまわりに回転できる立体とが同じ体積になるようにmの値を定めよ。

【解】

y=√xとy=mxの交点のx座標は

　　

交点は(0,0)、(1/m²,m)。

　　

だから

　　

（解答終わり）

問題２　図のように、AC=1、BC=3とし、DEはA、Bを中心とし点Cで外接する２円の共通接線である。∠ABE=60°であることを示し、斜線をつけた部分CDEをABのまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

Cを原点Oにとり、Aを(−1,0)、Bを(3,0)にとる。
Aから直径BEに垂線をおろし、垂線の足をHとする。
四角形ADEHは長方形。

したがって、EH=AD=1。

よって、

　　

AD=4だから

　　

Eのx座標は

　　

Dのx座標は

　　

Dのy座標は

　　

直線の傾きは

　　

したがって、直線DEの方程式は

　　

以上のことより、求めるべき体積Vは

　　

（解答終わり）

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