３次関数と変曲点

３次関数と変曲点

問題１　f(x)=x³+3x²−4x−6とするとき、関数y=f(x−a)+bのグラフの変曲点が原点に一致するようにa、bの値を定めよ。

【解】

 　　

f''(x)=0となる点を求めるとx=−1。そして、この前後でf''(x)の符号が負から正に変わるので、(−1,0)は変曲点。

(−1,0)を原点(0,0)と一致させるためには、x軸の正の方向に1だけ移動させれば良いので、a=1、b=0である。

（解答終了）

f(x)=x³+3x²−4x−6をx軸の正方向に1平行移動させた関数をg(x)とすると、

　　

になる。

そして、g(x)は

　　

になるので、g(x)は奇関数、つまり、原点に関して対称である。

　　

だから、O=(0,0)はこの関数の変曲点である。

y=f(x)の変曲点が原点になるように変換、平行移動したのだから、これは当たり前。

そして、このことから、y=f(x)がその変曲点(−1,0)に関して対称であることが分かる。

さて、このことが一般の３次関数y=f(x)=ax³+bx²+cx+d（a≠0）について言えるのか、つまり、３次関数は変曲点に関して対称なのか、このことを確かめたい。

問題２　３次関数y=f(x)のグラフはただ１つの変曲点をもち、その変曲点に関して対称であることを証明せよ。

【解】

　　

f''(x)=0を解くと

　　

であり、x=αの前後でf''(x)の符号が変化するからA(α,f(α))は変曲点である。

そして、この点以外でf''(x)の符号が変わることはないから、３次関数の変曲点はAただ一つである。

Aが原点に来るように座標軸を平行移動すると、新座標軸XAYに関して曲線の方程式は

　　

となる。

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

よって、曲線Y=F(X)は原点に関して対称。

したがって、y=f(x)は変曲点Aに関して対称である。

（証明終わり）

３次関数のグラフは変曲点に関して対称であることが証明された。

問題３　３次関数f(x)=x³+3ax²+3bx+cがx=αのとき極大、x=βのとき極小になるとき、

（１）　f(α)+f(β)をa、b、cであらわせ。

（２）　y=f(x)の極大になる点、極小になる点をそれぞれA、Bとすれば、線分ABの中点Mはこの曲線上にあることを証明せよ。

【解】

（１）

　　

α、βはf'(x)=0の解だから、２次方程式の解と係数の関係より

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（２）　A、Bの中点をM(p,q)とすると、

　　

f(−a)を計算すると、

　　

よって、A、Bの中点Mは曲線y=f(x)上にある。

（解答終了）

この関数の変曲点を求めると、

　　

より、変曲点のx座標はx=−aとなる。

つまり、変曲点は、上で求めた極大点Aと極小点Bの中点である。

 

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逆関数の微分の問題

逆関数の微分の問題

問題１　次の関係式よりをxの式で表せ。

　　

【解】

（１）　x=sinyの両辺をyで微分すると

　　

−π/2<y<π/2で、cosy>0だから

　　

よって、

　　

（２）　x=cosyの両辺をyで微分すると

　　

0<x<πで、siny>0だから

　　

よって、

　　

（解答終了）

−π/2<y<π/2で定義されたx=sinyという関数の逆関数を

　　

と定義するとき、

　　

0<y<πで定義されたx=cosyという関数の逆関数を

　　

と定義するとき、

　　

高校の数学の範囲を超えるけれど、

　　

であり、

　　
である。

問題２　x=tany（−π/2<x<π/2）を利用して、tanyの逆関数の微分を求めよ。

【解】

x=tanyの両辺をyで微分すると

　　

で、

　　

逆関数の微分公式より

　　

（解答終了）

したがって、

　　

である。

 

問題３　図のようなグラフで表される関数をy=f(x)（0≦x≦a)とし、この式をxについて解いて得られた式をx=g(y)とする。

（１）　x=g(y)（0≦y≦f(a))のグラフをかけ。

（２）　次の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　y=f(x)と同じグラフ。

（２）　図のように、y=f(x)とx軸、x=aで囲まれた図形の面積をS₁、x=g(y)とy軸、y=f(a)で囲まれた図形の面積をS₂とする。

　　

したがって。

　　

（解答終了）

この問題の（１）で、「何故、同じグラフになるか」という質問は、「1=1が何故、成立するか」という質問と同じ。

「逆関数の定義からこうなる」と答えるしかない！！

そして、このような質問をするヒトは、逆関数を理解していない！！

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y²=f(x)のグラフの概形をかく

y²=f(x)のグラフの概形をかく

陰関数の定義

x、yの関係式f(x,y)=0に対して、関数y=φ(x)が

　　

を満たすとき、y=φ(x)をf(x,y)=0によって定まる陰関数という。

とって付けたように、陰関数の定義をあらたに与えたところで、さっそく、問題。

問題１　方程式y²=x⁴−2x²によって表される曲線のグラフをかけ。

【解】

　　

となる。

また、

yは実数だからy²≧0。よって、

　　

まず、

　　

について考える。

この関数は偶関数だから、x≧0について考えればよい。（x<0のグラフの部分はx>0のグラフをx軸で折り返せばよい）

つまり、

　　

を考える。

これを微分すると（※）

　　

凹凸表を書くと

x	0		√2	…	√3	…
y''				−	0	＋
y				上に凸	変曲点	下に凸

まず、このグラフをかき、それをy軸で折り返す。

で、

　　

とすると、y₂はy₁で折り返したもの。

以上のことより、次の図になる。

（解答終わり）

なのですが、この曲線は問題１の解答の

　　

という組み合わせではなく、

　　

と考えることもできる。

この組み合わせで考えると、いくらか楽になる。

なお、この曲線（？）上の点は(0,0)にも存在する。この点(0,0)のように、その近傍にそれ以外に曲線上の点が存在しない点のことを孤立点という。

問題２　関数の増減を調べて次の方程式のあらわす曲線の概形をかけ。

　　

【解】

（１）　y²≧0だから、x≧−3。

　　

で、

　　

とすると、　　

　　
したがって、yは、x=−5/3で極小値をとり、極小値は−16√3/9。

また、yは下に凸である。

（２）

　　

だから、

　　

とする。

　　

（解答終わり）

高校の微分積分の範囲内でも、これらの曲線の概形を描くことはできるけれど、これらは大学の数学の範囲でしょう。

問題３　定点(1,1)を通り、定直線x+y=0に接する円の中心P(x,y)の軌跡をCとするとき、軌跡Cの方程式を求め、そのグラフをかけ。

【解】

定点(1,1)をA、P(x,y)から直線x+y=0に下ろした垂線の足をHとすると、PA=PH=円の半径である。よって、

　　

これをyについて解くと

　　

よって

　　

（解答終了）

この曲線の正体が何か、少しわかりづらいと思うのですが、この曲線を４５°反時計回りに回転させると、次のような曲線になり、この曲線の正体が放物線であることがわかる。

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陰関数の微分の問題

陰関数の微分の問題

問題１　陰関数の微分法を用いて、次の方程式によって表された曲線上の点(x₁,y₁)における接線の方程式を求めよ。ただしa≠0、b≠0とする。

　　

【解】

（１）　ax²+by²=1の両辺をxで微分すると、

　　

この曲線の点(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

接線の方程式は

　　

y₁=0のとき、a>0のとき、接線の方程式は

　　

になり、このときも

　　

を満たすので、接線の方程式は

　　

（２）


　y²=4axの両辺をxで微分する。

　　

したがって、点(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

よって、接線の方程式は

　　

点(x₁,y₁)はy²=4ax上の点だから

　　

これを代入すると、

　　

y₁=0のとき、x₁=0で、原点Oにおける接線はx=0

この場合も、

　　

が成立するので、接線の方程式は

　　

（３）　xy=aの両辺をxで微分すると、

　　

よって、点(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

よって、接線の方程式は

　　

（解答終わり）

問題２　曲線

　　

上の任意の一点P(x₁,y₁)の接線の両座標軸の間にある部分は一定であることを証明せよ。ただし、a>0、x₁y₁≠0とする。

【解】

　　

をxで微分すると、

　　

よって、接点での傾き

　　

接線の方程式

　　

x切片とy切片を求めると

　　

この接線とx軸とy軸の交点をA、Bとすると

　　

よって、一定である。

（解答終わり）

問題３　曲線

　　

の上の点Pにおける接線がx軸、y軸と交わる点をA、Bとする。このとき、OA+OBはPの位置に関係なく一定であることを証明せよ。

【解】

　　

をxで微分すると、

　　

したがって、点P(x₁,y₁)における接線の傾きは

　　

接線の方程式は、
　　

よって、x切片は√x₁、y切片は√y₁となり、

　　

Pの位置に関係なく、OA＋OBは一定で、その値は１である。

（解答終了）

補足

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微分法を用いた不等式の証明

微分法を用いた不等式の証明

微分法を用いた不等式の証明は、例えば、f(x)>g(x)という不等式の場合、F(x)=f(x)−g(x)とし、微分法を用いてF(x)の増減を調べることが基本。

例　x²>2x−2を証明せよ。

このような問題があった場合、左辺と右辺の差をf(x)と置き、両辺をxで微分する。

　　

よって、x=1のときf(x)は最小（極小）。

したがって、

　　

である、ことが証明できる。

もっとも、この問題の場合、微分を使うまでもなく、

　　

と証明することができる。

では、問題。

問題　x>0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

【解】

（１）

　　

とおく。

　　

したがって、x>0でf(x)は単調増加。

よって、

　　

また、
　　

したがって、g'(x)はx>0で単調増加。

ゆえに、x>0で

　　

よって、g(x)はx>0で単調増加。

　　

①、②より、

　　

（２）

　　

とおく。

　　

よって、f(x)はx>0で単調増加

　　

また、

　　

よって、g(x)はx>0で単調増加。

　　

①と②より、

　　

（解答終わり）
（１）、（２）ともに、マクローリン展開（テーラー展開）を
　　

有限項で撃ち切ったもの。

そして、（２）の
　　

と

　　

から、

　　

という不等式が出てくる。

また、（１）の

　　

の各辺をx=0からx=tまで積分すると、

　　

という不等式が得られる。

図から明らかように、各辺のすべての関数が偶関数なのだから、さらに次の不等式が得られる。

　　

なお、この不等式を得るにあたって、定積分の次の定理を使っている。

定理　f(x)、g(x)が[a,b]で連続、かつ、f(x)≧g(x)であるならば、

　　

f=gは、fとgが同一の関数、つまり、x∈[a,b]のすべてのxに対してf(x)=g(x)である、ことをあらわしている。

宿題　x>0で

　　

であることを利用して、

　　

であることを証明せよ。

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対数微分法

対数微分法

非零の値をとる微分可能なxの関数u、vがある。

その積をy=uvとおき、この絶対値
　　

両辺の対数をとると

　　

両辺をxで微分すると
　　

両辺にyをかけると

　　

となり、積の微分の公式が得られる。

また、y=u/vとおき、この両辺の対数をとり、さらにそれを微分すると

　　

と商の微分公式が得られる。

このように、関数の対数をとって、さらに、微分する方法を対数微分法という。

問題１　次の関数を微分せよ。

　　

【解】

両辺の対数をとり、微分すると

　　

（解答終わり）

問題２　次の関数を微分せよ。

　　

【解】

両辺の対数をとり、微分すると、

　　

（解答終わり）

問題３　次の関数を微分せよ。

　　

【解】

両辺の絶対値をとり、さらにその対数をとる。

　　

微分すると、

　　

（解答終わり）

以上のことから、

　　

絶対値をとるのは、対数の真数となるyが負になることがあるから。対数の真数は正の数でないとならない。

なお、

　　

であることは、合成関数の微分を使って次のように示すことができる。

x>0ならば

　　

x<0のとき

　　

だから、

　　

を求めればよい。

そこで、u=−1とおき、合成関数の微分を使う。

　　

x>0、x<0のときでも、

　　

が成立し、したがって

　　

である。

そして、このことから、

　　

という積分公式が得られる。

問題４　次の微分をせよ。

　　

【解】

　　

とおき、両辺の絶対値の対数をとると

　　

両辺をxで微分すると、

　　

（解答）

問題４のように微分する関数が複雑な積の形で与えられているときに対数微分法は有効な計算方法。

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陰関数の微分と媒介変数で表された関数の微分

陰関数の微分と媒介変数で表された関数の微分

§１　陰関数の微分

φ(x,y)=x²+y²−1=0のように２変数xとyの関係が与えられているとする。これをyについて解くと、

　　

であり、φ(x,y)=x²+y²−1=0は①と②の２つの関数からなるものと考えられる。

このように、φ(x,y)=0の形で与えられる関数を陰関数、y=f(x)の形で与えられる関数を陽関数という。

問１　x²+y²=1のとき、dy/dxを求めよ。

【解】

x²+y²=1の両辺をxで微分すると

　　

（解答終わり）

なお、dy²/dxの計算は、合成関数の微分の公式を用いて

　　

と計算している。

 

問２　次の方程式からdy/dxを求めよ。a0、b、pは定数とする。

　　

【解】

（１）　両辺をxで微分すると、

　　

（２）　両辺をxで微分すると

　　

（３）　両辺を微分すると

　　

（解答終わり）

問題１　曲線x²−y²=9およびxy=4の交点における接線は互いに直交していることを証明せよ。

【解】

x²−y²=9の両辺をxで微分すると、

　　

また、xy=4をxで微分すると、

　　

２曲線の交点Pの座標を(a,b)とすると、x²−y²=9とxy=4の(a,b)における接線の傾きをm₁、m₂とすると

　　

よって、交点Pにおける接線は直交する。

（解答終わり）

§２　媒介変数で表された関数の微分

x、yが変数tによってx=f(t)、y=g(t)で与えられているとする。

x=f(t)の逆関数が存在するとき、yはxの関数とみなすことができる。

y=g(t)をの両辺をxで微分すると、

　　

x=f(t)の逆関数の導関数は

　　

だから、

　　

定理　（媒介変数tで表された関数の微分）

x、yがそれぞれtの関数であるとき、dy/dx≠0ならば

　　

問　次の関係式より、dy/dxを求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）

　　

（解答終わり）

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合成関数と逆関数のの微分

合成関数と逆関数のの微分

§１　合成関数の微分

写像の定義

X、Yを空でない集合とする。Xのおのおのの要素（元）xについてYのをただ一つ対応させる規則fが与えられているとき、この規則fを集合Xから集合Yへの写像（関数）といい、

　　

であらわす。

　　

があるとき、Xの要素xに対応するYの要素yをxのfによる像といいf(x)であらわし、

　　

とかく。

合成写像の定義

X、Y、Zを集合、

　　

を写像とする。

このとき、x∈Xに対してg(f(x))∈Zを対応させる写像を合成写像（合成関数）といい、であらわす。すなわち、

　　

である。

たとえば、

　　

という対応規則、関数f、gが与えられているとき、

　　

となって、Xのおのおのの要素xにZの要素zをただ一つ対応させることができる。そして、この規則が合成写像（合成関数）である。

合成関数の微分

先にでたように、

　　

の合成関数は

　　

で、これは微分可能で導関数は

　　

である。

次に、より一般の合成関数y=f(g(x))の微分公式を求めることにする。

y=f(u)、u=g(x)がともに微分可能であるとする。

　　

とおくと、

　　

Δx→0のとき、Δy→uだから

　　

これを上式に代入すると、

　　

よって、

　　

である。

したがって、

　　

定理　（合成関数の微分）

y=f(u)、u=g(x)がともに微分可能であるとき、合成関数y=f(g(x))の微分は

　　

である。

あたかも分数の約分のようであるから①は覚えやすい。

しかし、使い勝手がいいのは⑨である。

問　次の関数を微分せよ。

　　

【解】

（１）　u=x²+1とおくとy=2u³+3u。

　　

よって

　　

（２）　u=x³+3とおくとy=√u。

　　　　

よって、

　　

（解答終わり）

（２）の3をa²（aは定数）を置き換えると

　　



§２　逆関数の微分

 

y=f(x)の逆関数をy=g(x)とおけば、x=f(y)

この両辺をxで微分すると、右辺は

　　

よって

　　

定理　（逆関数の微分公式）

　　

数関数とするとx=logy。

だから、
　　

このxをyに置き換えると、

　　

という対数関数の微分の公式が得られる。

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三角関数の接線の問題

三角関数の接線の問題

三角関数の微分公式

　　

問題１　0≦x<2πの区間において、y=a−cos2xがy=2sinxのグラフと接するように、定数aの値を定めよ。

【解】

２曲線y=a−cos2xとy=2sinxの接点Pの座標を(x₁,y₁)とすると、この２曲線が接するのだから

　　

さらに、接点Pにおけるy=a−cos2xとy=2sinxの微分係数が等しい。

y=a−cos2xとy=2sinxの導関数を求めると

　　

x=x₁における微分係数が等しいので

　　

0≦x<2πでcosx₁=0を解くとx₁=π/2、3π/2であり、sinx₁=1/2の解はx₁=π/6、5π/6。

よって、x₁=π/6、π/2、3π/2、5π/6。

①より

　　

x₁=π/6のとき、a=3/2。

x₁=π/2のとき、a=1。

x₁=3π/2のとき、a=−3。

x₁=5π/6のとき、a=3/2。

よって、aの値は3/2、1、−3である。

（解答終わり）

曲線y=f(x)とy=g(x)がx=aで接する条件は、

　　

また、正弦関数の２倍角の公式

　　

を使っている。

 

問題２　曲線y=sinx（0≦x≦2π）の接線がx軸およびy軸と交わる点をA、Bとし、原点をOとするとき、線分OA、線分OBの長さの比が√2:1になる場合の接点の座標を求めよ。

【解答】

接点Pを(x₁,sinx₁)とすると、y'=cosxだから、接線の方程式は

　　

よって、

　　

この方程式を0≦x₁≦2πの条件で解くと、

　　

したがって、接点Pは

　　

（解答終わり）

（※）　OB/OAは直線の傾きの絶対値に等しい。

A(a,0)、B(0,b)とすると、OA=|a|、OB=|b|。

そして、この２点を通る直線の傾きmは

　　

m=cosx₁だから、

　　

（※終わり）

問題３　関数y=tanxのグラフと、原点におけるそれの接線と交点の任意のひとつのx座標をaとする。このとき、関数y=sinxのグラフ上のx=aでこれに接する接線は原点を通ることを証明せよ。

【解答】

　　

x=0におけるy=tanxの接線の方程式はy=x。

y=tanxとy=xの交点の一つのx座標をaとすると、

　　

x=aにおけるy=sinxの接線の方程式は、y'=cosxだから、

　　

x=0のとき

　　

よって、x=aにおけるy=sinxの接線は原点を通る。

（解答終わり）

三角関数の微分

三角関数の微分

三角関数の導関数を求める前に、三角関数の公式を紹介。

　　

さらに、前回、求めた三角関数の極限の公式。

　　

正弦関数f(x)=sinxの導関数を求めることにする。

　　

である。

余弦関数cosxの導関数も同様に

　　

と求めることができる。

正接関数tanxの導関数も微分の定義から導くことができるけれど、少し複雑になるので、商の微分公式、

　　

を使って求めることにする。

　　

だから、u=sinx、v=cosxとすると、
　　

になる。

以上の結果をまとめると、三角関数の導関数は次のとおりである。

　　

三角関数の微分の本格的な問題を解こうとすると、合成関数の微分法をはじめに三角関数の諸公式の前提知識が必要になるので、今回は、これらの知識を必要としない問題のみを解くことにする。

問題１　曲線y=x−sinx（0≦x≦2π）の概形をかけ。また、この結果を利用して、次の不等式を証明せよ。

　　

【解】

y=x−sinxだから、

　　

−1≦cosx≦1だからy'≧0。よって、yは単調増加で、極値は有さない。

よって、0=f(0)≦f(x)≦f(2π)=2π。

最小値　0　（x=0）

最大値　2π　（x=2π）

凹凸表を書くと

x	0	…	π	…	2π
y''	0	＋	0	−	0
凸凹		下に凸	変曲点	上に凸

よって、グラフは次の通り。

f(x)=x−sinx（0≦x≦π/2）とすると、f(x)は単調増加。

よって、

　　

（解答終わり）

また、次のグラフをみれば、0<x<π/2で

　　

という不等式が成り立つことが分かる。

問題２　次の問いに答えよ。

（１）　次の関数の極値を求め、グラフをかけ。

　　

（２）　0<x<πのとき

　　

の最小値を求めよ。

【解】

（１）

　　

0≦x≦2πの範囲でy'=0を解くと、x=π/4、5π/4。

増減表を書くと、

x	0	…	π/4	…	5π/4	…	2π
y'		＋	0	−	0	＋
y	0	増加	極大	減少	極小	増加	0

（２）

　　

0<x<πの範囲でy'=0を解くと、x=π/3。

増減表を書くと、

x	0	…	π/3	…	π
y'		−	0	＋
y		減少	極小 √3	増加

よって、x=π/3のとき最小で、最小値は√3。

（解答終わり）

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