速度と加速度 [ネコ騙し数学]
速度と加速度
直線上を運動する点Pの座標xが時刻tの関数としてx=f(t)で表されるとき、速度vは
であり、加速度αは
である。
x=f(t)の導関数x'=f'(t)もtの関数であり、f'(t)をさらにもう一度微分してえられ関数を第2次導関数といい、
などの記号であらわす。
したがって、第2次導関数を用いると、加速度αは
問題1 物体を地上から初速20m/sで投げ上げるとき、t秒後の地上からの距離はs=20t−5t²で表される。
(1) t秒後の速度と加速度を求めよ。(2) 物体が最高点に達するまでの時間を求めよ。
(3) 地上に落下するのは何秒後か。また、そのときの速度を求めよ。(1) 速度をv、加速度をαとおくと
(2) 最高点に達するときv=0(※)だから、
よって、2秒後。
(3) 地上に達したときs=0だから
t>0だから、4秒後。
よって、速度は−20(m/s)。
(解答終わり)
(※) v>0のときsは増加し、v<0のときsは減少する。よって、v=0のとき、sが最大になる。
問題2 道路上4mの街灯の真下から身長1.5mの人が毎秒70mの速さで遠ざかるとき、その人の影の先端の速さを求めよ。
【解】図のように、街灯の位置をA、その真下をO、t秒後の人の位置をP、頭の先端をQ、影の先端をBとする。
よって、影の先端の速さは112m/s。
問題3 直交軸Ox、Oyがある。点PはOを出発して毎秒4cmの速さでOx上の正の方向に、点Qは点Pと同時に出発して毎秒3cmの速さでOyの正の方向に進む。
(1) PQの中点Rは直線上を動くことを示せ。(2) Rの速さを求めよ。
(3) 直線PQとy=xとの交点Sの速さを求めよ。(1) t秒後の点Pの座標は(4t,0)、点Qの座標は(0,3t)。したがって、中点Rの座標(x,y)は
よって、点Rは
上に存在する。
(2) OR=sとすると、
よって、Rの速さは5/2(cm/s)である。
(3) 直線PQの方程式は
よって、この直線とy=xとの交点S(x,y)は、y=xを①式に代入すると
OS=sとすると
したがって、速さは12√2/7(cm/s)である。
(解答終了)