速度と道のり

速度と道のり

直線上を運動する点Pがあり、時刻tにおける速度をv=f(t)と表せば、

　　

である。

t=aにおける点Pの位置をx₁、t=bにおける点Pの位置をx₂とすれば、t=aとt=bの間における変位（位置の変化量）x₂−x₁は

　　

である。

道のりsは

　　

である。

道のりについて少し説明する。

速度v=f(t)で表される関数f(t)が

　　

であるとき、点Pは、a≦t≦cの間ではxの正の向きに

　　

移動し、c<t≦bではxの負の向きに

　　

移動するので、a≦t≦bの間に点Pが実際に移動する量は

　　

である。

このとき、

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

となる。

道のりは図中の藤色の領域の面積と等しい。

 

問題１　直線上を動く点の、動き始めてからt秒後の速さv(m/s)がv=t²−4t+3であるとき

（１）　動き始めてから４秒後の点の位置を求めよ。

（２）　動き始めてから４秒間に動いた距離を求めよ。

【解】

（１）　出発点を原点にとり、t秒後の動点の位置をxとすると

　　

（２）　移動する量をsとすると

　　

t²−4t+3=(t−1)(t−3)だからg(t)=|t²−4t+3|（0≦t≦4）とすると

　　

よって、①は

　　

（解答終わり）

 

問題２　初速30(m/s)の速さで真上にあげられた物体の、t秒後の速さv(m/s)はおよそv=30−10tで表される。投げてから何秒後に、どの高さまで上がって落ち始めるか。

【解】

v>0のとき高さは増加し、v<0のとき減少する。したがって、v=0のとき高さは最大になる。したがって、

　　

に高さは最大になる。

よって、求めるべき高さは

　　

したがって、3秒後に45mまで上昇して落下する。

（解答終わり）

問題３　動き始まってからt時間たった瞬間、１時間に3πt²（m³）の割合で吐き出すポンプがある。

（１）　このポンプが動き始めてから４時間後までに、どれだけの水を吐き出すか。

（２）　このポンプで、内のりの直径が8mの半球状の容器の深さが3mになるまで注水するには何時間かかるか。

【解】

（１）
　　　

（２）　半球状の容器の深さ３ｍの体積は

　　

したがって、注水に要する時間をτとすると

　　

よって、３秒後

（解答終わり）

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