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微分・積分公式の追加 [ネコ騙し数学]

微分・積分公式の追加


§1 微分・積分公式の追加

問題1 f(x)の導関数がf'(x)であるとき、

  siki-xx01.png

であることを証明せよ。

【証明】
  siki-xx02.png

t=ax+bk=ahとおくと、h→0ならばk→0になるから、上の式は

  siki-xx03.png

(証明終わり)


だから、一般に

は成立しない!!

例えば、f(x)=x²とすると、f'(x)=2x

  

そして、このことから、f(x)の原始関数をF(x)とすると、

  

である。

何故ならば、

  siki-xx05.png

だから。

原始関数の定義より

  


問 次の不定積分を計算をせよ。

  

【解】

  

したがって、②より
  siki-xx08.png

(解答終わり)


【別解】

  siki-xx06.png

(解答終わり)


別解で求めた不定積分は解で求めた不定積分より1/6小さい。

ですが、不定積分では、定数分の差があったとしても同じものと見なされるので、どちらも正解。

微分すると、どちらも(2x+1)²になるからです。



問題 定義域がx>0の関数f(x)がある。f(x)は定義域で微分可能で、次の関係がある。

  

(1) f(1)の値を求めよ。

(2) f'(1)=1とするとき、f'(x)を求めよ。

(3) f(x)を求めよ。

【解】

(1)

  

(2) f(ax)=f(a)+f(x)aは任意の定数)をxで微分する。

  

x=1を代入すると、

  
これが任意のaについて成り立つので、
  


(3) (2)より

  

(1)より、f(1)=0だから

  

(解答終わり)

(3)は、次のように解いてもよい。
(3)の別解


(別解終わり)

  siki-xx07.png

「⑨ネコ、

はどこから出てきたんだ?」

「オレが、こうだと決めたんだケロ。

こう定義したんだ。だから、誰にも文句を言わせない。」

 


§2 対数関数と指数関数


ココからは、整関数の微分・積分、さらに数学Ⅲの微分積分をも越えた話をします。

ですから、純粋に読み物として読んでもらって結構!!

graph-000.png

⑨から、

  

さらに、

  

ここで、t=xsとおき、置換積分を使うと
  

したがって、

  

また、この結果を使って
  siki-xx09.png

したがって、

  

などなど、対数関数log

  

と定義することによって、高校で習った対数関数の諸公式を導くことができる。


さらに、
この定義より、

  

だから、logxは単調増加であり、この逆関数が定義できる。

この逆関数を

  

として、指数関数を対数関数の逆関数として定義することも可能である。
y=logx
とおき、これを微分すると、⑨より

  

逆関数の微分公式より

  

つまり、

  

である。

このことから、

  

とおくと、

  

が成立する。

先に定義したように、log1=0だから、

  

である。

したがって、f(y)をマクローリン展開すると

  siki-xx10.png

このことから、

  siki-xx12.png

である。


これが収束することは、数列の問題で証明し、また、そこでこの近似値を小数点4位まで求めてある。

公式の追加として
  siki-xxx-000.png



タグ:微分積分

2次導関数を用いた極値の判定 [ネコ騙し数学]

2次導関数を用いた極値の判定


定理 関数f(x)が連続な導関数f'(x)f''(x)を有する区間内において、

 (Ⅰ) f'(a)=0f''(a)>0のときはx=af(x)は極小

 (Ⅱ) f'(a)=0f''(a)<0のときはx=af(x)は極大

【証明】

(Ⅰ) f''(x)は連続でf''(a)>0だから、aを含む小さな開区間Iに属するxf''(x)>0。したがって、f'(x)は開区間Iで増加状態にある。さらに、f'(a)=0だから、aの前後でf'(x)の符号が負から正に変わる。よって、x=aで極小である(※)。

(Ⅱ) aを含む小さな開区間Iに属するxf''(x)<0。したがって、f'(x)は開区間Iで増加状態にある。さらに、f'(a)=0だから、aの前後でf'(x)の符号が正から負に変わる。よって、x=aで極大である。

(証明おわり)


(※) f'(x)の符号がx=aの前後で負から正に変わるとき、f(a)は極小である。

x<aのとき、平均値の定理より

  

となるcが存在し、f'(c)<0x−a<0だから、

  

a<xのとき

  

となるcが存在し、f'(c)>0x−a>0だから

  

同様に、f'(x)の符号が正から負に変わるとき、x=aで極大であることが証明される。

ここで平均値の定理を使うならば、

  

を使えという指摘もあるだろう。

もっともな話である。

これを使うならば、f'(a)=0だから

  

|h|が十分小さくとれば(h≠0)、f''(a+θh)f''(a)の符号は同じ。

よって、f''(a)>0ならば

  

したがって、x=aで極小。

f''(a)<0ならば

  

したがって、x=aで極大。

スッキリとした証明になるが、さすがに、この証明は高校数学の範囲外だろう。

⑨は、まだ証明していないし・・・。
ただし、これは2次導関数が連続であればの議論!!


定理 f(x)[a,b]において連続、f(x)(a,b)において2回微分可能であるとき、

  

となるcabの間にすくなくとも一つ存在する。

【証明】

  

が成り立つようにkを定め、

  

とすると、F(x)[a,b]で連続、(a,b)で微分可能である。

  

F(a)=F(b)=0だから、ロールの定理より、F'(c)=0、すなわち、

  

となるcabの間に少なくともひとつ存在する。

b≠cだからb−c≠0

②の両辺をb−cで割ると

  

これを①に代入すると、

  

(証明終わり)

 


問 f(x)=x³−3x−1の極値を求めよ。

【解】

  

よって、f'(x)=0を満たす点はx=±1

  

したがって、x=−1のとき極大、x=1のとき極小。

  

極大値 1 (x=−1のとき)

極小値 −3 (x=1のとき)


kyokuchi-01.png

(解答終わり)

 


しかし、この判定法もf(x)=x³の前には無力!!

f'(x)=3x²f''(x)=6xだから、x=0のときf''(0)=0となって、第2次導関数を利用した判定法が使えない。

この関数はかなりの曲者!!


extremum-03.png



タグ:微分積分

ワンポイントゼミ7 [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ7


n次の整式、多項式は

  

と展開できる。

なお、

  

は、f(x)を1回、2回、3回…、n回微分して得られる導関数である。

たとえば、f(x)=x³という関数の場合、

  

である。

  

となるように、係数abc、dを定めよ。


  

になるので、これを代入し、

  

とし、これを左辺と右辺の係数を比較し、abcdの4元連立方程式――この場合、a=1d=1がすぐにでてくるので、実質、2元連立方程式――を解いてもよい。

しかし、微分を使えば、次のように解くことができる。


【解】

  

とすると、

  

微分すると、

  

f'(x)を微分すると、

  

f''(x)をさらに微分すると、

  

したがって、

a=1b=3c=3d=1である。

(解答終わり)

この方法を用いれば、

  

といった展開も簡単に、機械的に、求めることができる。

そして、この答えは

  

である。

ただし、

  


タグ:微分積分

高次導関数 [ネコ騙し数学]

高次導関数


関数y=f(x)の導関数f'(x)もまたxの関数であり、これをさらに微分して得られる導関数をy=f(x)の第2次導関数といい、

  siki-001.png

などの記号であらわす。

d²y/dx²

を略したものである。

すなわち、

である。

同様に、第2次導関数f''(x)を微分して得られる導関数をy=f(x)の第3次導関数といい、

  siki-003.png

などであらわす。


一般に、y=f(x)n回微分して得られる関数をy=f(x)の第n次導関数といい、

であらわす。
また、第2次導関数以上の導関数をf(x)の高次導関数という。

例1 

  siki-002.png

例2

  siki-004.png


問題1

  

とおき、両辺のr次導関数を考えることによってを定め、それからの展開式を求めよ。

【解】

の両辺をxで微分すると、

  
これらの両辺にx=0を代入し、係数を比較すると、
  siki-006.png

よって、

  siki-007.png

したがって、

  

(解答終わり)


  siki-009.png

だから、この組み合わせを使うと、

となる。

x=b/aとし、両辺にをかけると

  

となり、2項定理が得られた。



問題2

  

をもちいて次のことを証明せよ。
【解】

  

とする。(1) ①にx=1を代入すると、

  


(2) ①にx=−1を代入すると、

  


(3) ①の両辺を微分すると、

  

x=1を代入すると、

  


(4) ②にx=−1を代入すると、

  

(解答終わり)

 


問題3 f(x)n次の整式であるとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。

  

【解】

f(x)n次の整式だから

  

x=aを代入すると、

  

①を微分すると

  

x=aを代入すると

  

②をxで微分すると

  

これにx=aを代入し

  

同様に

  

したがって、r=0,1,2,…,nに対して

  

が成立し、よって、
  

である。

(解答終わり)

これは多項式、整式に対するx=aにおけるテーラー展開。

そして、このことから、f(x)x−aで割った余りがf(a)(x−a)²で割った余りがf(a)+f'(a)(x−a)

そして、(x−a)³で割った余りが

  

であることが直ちにわかる。


タグ:微分積分

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