三角関数の極限

三角関数の極限

三角関数を微分するためには、次の極限を求める必要がある。

　　

図のように、中心をOとする半径rの円周上に定点Aと動点Pがあり、定点Aにおける接線と直線OPの交点をTとする。

∠AOP=θ（0<θ<π/2）とすると、△AOP、扇形AOP、△AOTは次のようになる。

　　

このとき、図から明らかなように、面積の大小関係は△AOP<扇形AOP<△AOTだから

　　

r>0だから、各辺をr²/2で割ると、

　　

0<θ<π/2では、sinθ>0だから各片をsinθで悪。このとき、sinθ>0だから、sinθで各辺を割っても大小関係は変わらない。
　　

で、

　　

よって、ハサミ打ちの定理より、

　　

θ→−0の極限は、θ=−tとおくと、t=−θとなり、θ→−0のときt→+0となる。また、sin(−t)=−sintだから、

　　

である。

よって、

　　

となり、

　　

である。

以下のグラフを見れば、この極限値が1であることが分かるのではないか。

また

　　

である。

 

問題１　中心O、半径rの円周上の２点をA、Bとし、Aにおける接線にBから下ろした垂線の足をCとする。∠BAC=θとし、AB、AC、BCとし、それぞれr、θで表して、次の極限を求めよ。

　　

【解】
AOの延長と円の交点をDとすると、

　　∠ADB=θ

したがって、

　　

（１）

　　

（２）

　　

（解答終わり）

接弦定理より、∠ADB=∠BAC=θ。

あるいは、

　　∠ADB+∠BAD=∠BAC+∠BAD=∠R

よって、

　　∠ADB=∠BAC=θ

 

問題２　原点を中心とする半径rの円周上に点Pがある。動径OPがx軸の正の向きとつくる角をθとする。定点A(2r,0)とPとを結ぶ直線がy軸と交わる点をQとするとき、

　　

を求めよ。

【解】

Pの座標を(a,b)とすると、

　　

２点、A、Pを通る直線の方程式は

　　

点Qはx=0との交点なので、x=0を代入し

　　

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

【別解１】

Qの座標を(0,q)とする。

AQを通る直線の方程式は

　　

点P(a,b)を通るので
　　

よって、

　　

（解答終わり）

出題者が座標を設定しているので、その意向に沿って解いたけれど、初等幾何の知識を使って、次のように解いた方が楽だろう。

【別解】

点PからOAに垂線をおろし、垂線の足をHとする。

　　

△AHP∽△AOQだから、

　　
よって、

　　

（解答終わり）

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