三角関数の接線の問題

三角関数の接線の問題

三角関数の微分公式

　　

問題１　0≦x<2πの区間において、y=a−cos2xがy=2sinxのグラフと接するように、定数aの値を定めよ。

【解】

２曲線y=a−cos2xとy=2sinxの接点Pの座標を(x₁,y₁)とすると、この２曲線が接するのだから

　　

さらに、接点Pにおけるy=a−cos2xとy=2sinxの微分係数が等しい。

y=a−cos2xとy=2sinxの導関数を求めると

　　

x=x₁における微分係数が等しいので

　　

0≦x<2πでcosx₁=0を解くとx₁=π/2、3π/2であり、sinx₁=1/2の解はx₁=π/6、5π/6。

よって、x₁=π/6、π/2、3π/2、5π/6。

①より

　　

x₁=π/6のとき、a=3/2。

x₁=π/2のとき、a=1。

x₁=3π/2のとき、a=−3。

x₁=5π/6のとき、a=3/2。

よって、aの値は3/2、1、−3である。

（解答終わり）

曲線y=f(x)とy=g(x)がx=aで接する条件は、

　　

また、正弦関数の２倍角の公式

　　

を使っている。

 

問題２　曲線y=sinx（0≦x≦2π）の接線がx軸およびy軸と交わる点をA、Bとし、原点をOとするとき、線分OA、線分OBの長さの比が√2:1になる場合の接点の座標を求めよ。

【解答】

接点Pを(x₁,sinx₁)とすると、y'=cosxだから、接線の方程式は

　　

よって、

　　

この方程式を0≦x₁≦2πの条件で解くと、

　　

したがって、接点Pは

　　

（解答終わり）

（※）　OB/OAは直線の傾きの絶対値に等しい。

A(a,0)、B(0,b)とすると、OA=|a|、OB=|b|。

そして、この２点を通る直線の傾きmは

　　

m=cosx₁だから、

　　

（※終わり）

問題３　関数y=tanxのグラフと、原点におけるそれの接線と交点の任意のひとつのx座標をaとする。このとき、関数y=sinxのグラフ上のx=aでこれに接する接線は原点を通ることを証明せよ。

【解答】

　　

x=0におけるy=tanxの接線の方程式はy=x。

y=tanxとy=xの交点の一つのx座標をaとすると、

　　

x=aにおけるy=sinxの接線の方程式は、y'=cosxだから、

　　

x=0のとき

　　

よって、x=aにおけるy=sinxの接線は原点を通る。

（解答終わり）