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陰関数の微分と媒介変数で表された関数の微分 [ネコ騙し数学]

陰関数の微分と媒介変数で表された関数の微分


§1 陰関数の微分

φ(x,y)=x²+y²−1=0のように2変数xyの関係が与えられているとする。これをyについて解くと、

  

であり、φ(x,y)=x²+y²−1=0は①と②の2つの関数からなるものと考えられる。

このように、φ(x,y)=0の形で与えられる関数を陰関数y=f(x)の形で与えられる関数を陽関数という。



問1 x²+y²=1のとき、dy/dxを求めよ。

【解】

x²+y²=1の両辺をxで微分すると

  

(解答終わり)

なお、dy²/dxの計算は、合成関数の微分の公式を用いて

  

と計算している。

 

問2 次の方程式からdy/dxを求めよ。a0bpは定数とする。

  

【解】

(1) 両辺をxで微分すると、

  


(2) 両辺をxで微分すると

  


(3) 両辺を微分すると

  

(解答終わり)

問題1 曲線x²−y²=9およびxy=4の交点における接線は互いに直交していることを証明せよ。

【解】

graph-125.png

x²−y²=9の両辺をxで微分すると、

  

また、xy=4xで微分すると、

  

2曲線の交点Pの座標を(a,b)とすると、x²−y²=9xy=4(a,b)における接線の傾きをm₁m₂とすると

  

よって、交点Pにおける接線は直交する。

(解答終わり)


§2 媒介変数で表された関数の微分


xyが変数tによってx=f(t)y=g(t)で与えられているとする。

x=f(t)の逆関数が存在するとき、yxの関数とみなすことができる。

y=g(t)をの両辺をxで微分すると、

  

x=f(t)の逆関数の導関数は

  

だから、

  


定理 (媒介変数tで表された関数の微分)

xyがそれぞれtの関数であるとき、dy/dx≠0ならば

  



問 次の関係式より、dy/dxを求めよ。

  

【解】

(1)

  


graph-127.png

(2)

  


graph-126.png

(解答終わり)
タグ:微分積分

合成関数と逆関数のの微分 [ネコ騙し数学]

合成関数と逆関数のの微分

§1 合成関数の微分

写像の定義

XYを空でない集合とする。Xのおのおのの要素(元)xについてYのをただ一つ対応させる規則fが与えられているとき、この規則fを集合Xから集合Yへの写像(関数)といい、

  

であらわす。

  

があるとき、Xの要素xに対応するYの要素yxfによる像といいf(x)であらわし、

  

とかく。

合成写像の定義

XYZを集合、

  

を写像とする。

このとき、x∈Xに対してg(f(x))∈Zを対応させる写像を合成写像(合成関数)といい、であらわす。すなわち、

  

である。

たとえば、

  

という対応規則、関数fgが与えられているとき、

  

となって、Xのおのおのの要素xZの要素zをただ一つ対応させることができる。そして、この規則が合成写像(合成関数)である。

合成関数の微分

先にでたように、

  

の合成関数は

  

で、これは微分可能で導関数は

  

である。

次に、より一般の合成関数y=f(g(x))の微分公式を求めることにする。

y=f(u)u=g(x)がともに微分可能であるとする。

  

とおくと、

  

Δx→0のとき、Δy→uだから

  

これを上式に代入すると、

  

よって、

  

である。

したがって、

  



定理 (合成関数の微分)

y=f(u)u=g(x)がともに微分可能であるとき、合成関数y=f(g(x))の微分は

  

である。

あたかも分数の約分のようであるから①は覚えやすい。

しかし、使い勝手がいいのは⑨である。

問 次の関数を微分せよ。

  

【解】

(1) u=x²+1とおくとy=2u³+3u

  gyaku-04.png

よって

  


(2) u=x³+3とおくとy=√u

  gyaku-05.png  

よって、

  

(解答終わり)

(2)の3aは定数)を置き換えると

  



§2 逆関数の微分

 

y=f(x)の逆関数をy=g(x)とおけば、x=f(y)

この両辺をxで微分すると、右辺は

  gougyaku-001.png

よって

   gougyaku-002.png


定理 (逆関数の微分公式)

  gyaku-02.png

数関数とするとx=logy

だから、
  gyaku-06.png

このxyに置き換えると、

  

という対数関数の微分の公式が得られる。



タグ:微分積分

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