逆関数の微分の問題

逆関数の微分の問題

問題１　次の関係式よりをxの式で表せ。

　　

【解】

（１）　x=sinyの両辺をyで微分すると

　　

−π/2<y<π/2で、cosy>0だから

　　

よって、

　　

（２）　x=cosyの両辺をyで微分すると

　　

0<x<πで、siny>0だから

　　

よって、

　　

（解答終了）

−π/2<y<π/2で定義されたx=sinyという関数の逆関数を

　　

と定義するとき、

　　

0<y<πで定義されたx=cosyという関数の逆関数を

　　

と定義するとき、

　　

高校の数学の範囲を超えるけれど、

　　

であり、

　　
である。

問題２　x=tany（−π/2<x<π/2）を利用して、tanyの逆関数の微分を求めよ。

【解】

x=tanyの両辺をyで微分すると

　　

で、

　　

逆関数の微分公式より

　　

（解答終了）

したがって、

　　

である。

 

問題３　図のようなグラフで表される関数をy=f(x)（0≦x≦a)とし、この式をxについて解いて得られた式をx=g(y)とする。

（１）　x=g(y)（0≦y≦f(a))のグラフをかけ。

（２）　次の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　y=f(x)と同じグラフ。

（２）　図のように、y=f(x)とx軸、x=aで囲まれた図形の面積をS₁、x=g(y)とy軸、y=f(a)で囲まれた図形の面積をS₂とする。

　　

したがって。

　　

（解答終了）

この問題の（１）で、「何故、同じグラフになるか」という質問は、「1=1が何故、成立するか」という質問と同じ。

「逆関数の定義からこうなる」と答えるしかない！！

そして、このような質問をするヒトは、逆関数を理解していない！！

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