平面上を動くの運動2 [ネコ騙し数学]
平面上を動くの運動2
前回に引き続き、平面上の運動に関する問題を解くことにする。
前回より問題の難易度は少し上がりますが、基本的に、目くらましの、ただの計算問題!!
問題1 x軸上を一定の速さで運動する点Pがある。y軸上の定点Aから見るとき、APの角速度はAP²に反比例することを証明せよ。
【解】
A(a,0)、P(x,0)、さらに、∠OAP=θとすると、
これをtで微分すると、
で、
よって、
したがって、APの角速度はAP²に反比例する。
(解答終了)問題2 平面上を運動する点Pの座標を(x,y)とし、時間tとの間に
なる関係が成立するものとする。
(1) 原点と点Pとの距離は時間に関係なく一定であることを示せ。
(2) 点Pが点(1,1)を通過してからはじめてx軸に到達するまで何秒かかるか。【解】
(1) 原点と点Pの距離はtで微分すると、
よって、原点と点Pとの距離は時間に関係なく一定である。
(2)
よって、この運動は原点Oを中心とする等速円運動。
円の半径rは、点(1,1)がこの円周上にあることから
また、点(1,1)での速度は
だから、反時計回りの運動で、速さは
点(−√2,0)に到達するまで
だけ移動するので、要する時間は
(解答終了)
問題3 Oを原点とする座標平面上で、点A(2,1)、B(−2,1)を終点とするベクトルをそれぞれとする。時刻をtであらわすとき
(1) ベクトルの終点はどのような曲線をえがくか。
(2) 上の点Pの速さの最大値、最小値を求めよ。
【解】(1)
よって、
したがって、楕円
をえがく。
(2)
速さは
したがって、
最大値 4√2π (sin4πt=1のとき最大)
最小値 2√2π (sin4πt=−1のとき最小)(解答終わり)
(1)で行っているのは、
という連立方程式を行列を使ってsin2πtとcos2πtについて解き、その後、sin²2πt+cos²2πt=1に代入しているだけ。
①+2×②から
2×②−①から
と解いたほうがずっと楽。
問題がベクトル的だったので、行列を使っただけです。
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