極値のちょっと難しい問題

極値のちょっと難しい問題

問題１
（１）関数

　　

の極大値がb、極小値が1/bのとき、aとbの値を求めよ。

（２）　（１）で得られたaに対する関数y=f(x)のグラフの概形をかけ。

【解】

（１）

　　

（ⅰ）a+1>0のとき、x=−1で極大、x=1のとき極小。

　　

bを消去すると

　　

a+1>0だから、a=1。よって、b=3。

（ⅱ）　a+1<0のとき、x=−1で極小、x=1のとき極大。

　　

bを消去すると

　　

よって、不適。

以上のことより、a=1、b=3。

（２）

（解答終了）

問題２　関数

　　

はx=π/4で極大値をとる。

（１）　aの値を定めよ。

（２）　x>0におけるすべての極大値の和を求めよ。

【解】

（１）

　　

x=π/4で極大値を取るので

　　

（２）　極値をとる点ではf'(x)=0でなければならない。

　　

x>0における、sinx=cosxの解は

　　

f''(x)を求めると

　　

よって、
　　

したがって、

　　

のとき、極大。

　　

したがって、極大値は

　　

の等比数列。

よって、

　　

（解答終わり）

問題３　nを自然数とする。関数

　　

について、

（１）　の極値および極値を与えるxの値を求めよ。

（２）　x≧0のとき、

　　

を求めよ。

【解】

（１）

　　

を微分すると、
　　

したがって、

nが偶数のとき、x=0で極小で極小値は0、x=1/nで極大で極大値は

　　

nが奇数のとき、x=1/nで極大で極大値は
　　

（２）　x≧0で

　　

で、

　　

だから、

　　

（解答終わり）

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