最大最小2 [ネコ騙し数学]
最大最小2
問題1 区間−1≦x≦1で定義された関数
について、次の問いに答えよ。
(1) とおいて、f(x)をtの関数として表しなさい。
(2) tの取りうる範囲を求めなさい。(3) f(x)の最大値、最小値を求めなさい。
【解】(1) として、両辺を2乗する。
よって、
(2)
極値では、dt/dx=0になるので、
x=−1/√2は解として不適。
増減表は
(3)
とする。
よって、f(x)の最大値は1−√2/2、最小値は2√3−4
(解答終わり)
問題2 点P(x,y)が円の上を動くとき、
(1) x−y=tとおきtの変化の範囲を調べよ。(2) 関数
の最大値、最小値を求めよ。
【解】
(1) 点P(x,y)は円上の点だから
とあらわすことができる。
したがって
【別解】
x−y=tだから、y=x+t。
(x,y)は円周上の点だから
に代入すると、
xは実数だから、2次方程式の判別式をDとすると、
直線x−y=tと原点の距離dは
直線x−y=tと円は共有点を持たないといけないので、
などなど、(1)については、色々な方法でtの範囲を求めることができる。
(2)
よって、
で、
とおき、tで微分すると
極値をとるところではg'(t)=0だから
を解くと、
−√2/2≦t≦√2/2だから
したがって、増減表は
(解答終了)
問題3 aを0<a<1なる実数とする。放物線
に点(0,1)から2本の接線をひき、その接線とx軸との交点をそれぞれQ、Rとするとき、△PQRの面積が最小となるように、aの値を定めよ。
接点のx座標をαとすると、接線の方程式は
これが点(0,1)を通るので、
よって、接線の方程式は
Q、Rのx座標をそれぞれq,rとする。
Q、Rは、上記の接線とx軸、つまり、y=0との交点だから、y=0を代入すると、
よって、△PQRの面積Sは
ここで、t=√aとおくと
となる。
Sが最小のとき、分母が最大になるので
とおき、g(t)の増減を調べる。
0<t<1だから、g(t)はt=1/√3のとき、極大かつ最大になる。
t=√a=1/√3だからa=1/3のとき、Sは最小になる。
【解答終了】タグ:微分積分