ウイルス感染のデジタル家電が震源か 脆弱な「ＩｏＴ」がハッカーの標的に 産経

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— 産経ニュース (@Sankei_news) 2016年10月23日

定積分の漸化式

定積分の漸化式

問題１

　　

（１）　I₁を計算せよ。

（２）　次の不等式を証明せよ。

　　

（３）　n>2のとき

　　

を証明せよ。

【解】

（１）

　　

（２）　0≦x≦1だから1≦1+x²≦2。

よって、

　　

ゆえに、

　　

（３）

　　

（解答終了）

少し説明すると、（１）の積分では

　　

を使っている。

この場合、f(x)=1+x²とすると、f'(x)=2xになるので、

　　

t=1+x²とおくと、dt/2=xdx。x=0のときt=1、x=1のときt=2だから、

　　

と、置換積分を使って計算をしてもよい。

（２）では、a≦x≦bにおいて、f(x)≦g(x)ならば、恒等的にf(x)=g(x)でなければ

　　

を使っている。

また、

　　

かつ、

　　

だから、

　　

である。

 

問題２

　　

を示し、nが正の整数であるとき、この積分の値を求めよ。

【解】

　　
とおくと、dx=-dθ。x=0のときθ=π/2、x=π/2のときθ=0。

よって、

　　
とすると、

　　

よって、nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

I₀、I₁を計算すると
　　

したがって、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

（解答終了）

問題２の結果を用いると、

　　

と簡単に計算することができる。

問題３

　　

について、

　　
を求め、それを利用して、nが正の整数のときのを求めよ。

【解】
　　

ここで、

　　

したがって、

　　

nが奇数のとき

　　

nが偶数のとき

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

定積分の部分積分法

定積分の部分積分法

f(x)、g(x)が閉区間[a,b]で連続な導関数を有するものとすると

　　

したがって、

　　

特に、g(x)=xのとき、g'(x)=1だから

　　

である。

 

問題１　次の不定積分の値を求めよ。

【解】

（１）

　　

（２）

　　

（３）
　　

と考え、

　　

（４）

　　

（解答終了）

 

問題２　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）

　　

（３）　√x=tとおくｔ、x=t²、dx=2tdt。また、x=0のときt=0、x=1のときt=1。

したがって、

　　

（解答終了）

この問題２のように、数回、部分積分をしたり、置換積分と部分積分を組み合わせて、定積分の値を求める場合がある。

問題３　次の定積分を求めよ。

　　

【解】
　　

（解答終了）

 

　　

とし、上の計算の途中で

　　

とする。

そして、

　　

①に②を代入すると

　　

この結果を②に代入すると、

　　

と、この２つを同時に求めることができる。

タグ：微分積分

定積分の置換積分法２

定積分の置換積分法２

問題１　次の公式が成り立つことを証明せよ。

　　

f(x)=f(a−x)のときは

　　

f(a−x)=−f(x)のときは

　　

【解】

t=a−xとおくと、dt=−dx。

また、x=0のときt=a、x=aのときt=0。

したがって、

　　

t=a/2−xとおくと、dt=−dx。

次に、

　　

右辺第２項の定積分は、t=a−xとおくと、x=a/2のときt=a/2、x=aのときt=0、

　　

したがって、f(x)=f(a−x)ならば

f(a−x)=−f(x)ならば

　　

（解答終了）

（１）より

　　

問題２

（１）　次の等式を証明せよ。

　　

（２）　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

右辺第１項は、x=−tとおくとdx=−dt。x=−aのときt=a、x=0のとき0。

したがって、

　　

よって、

　　

（２）　（１）より

　　

（解答終了）

問題３

（１）　f(x)が0≦x≦1で連続な関数のとき、次の等式を証明せよ。

　　

（２）　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　x=π−tとおくと、dx=−dt。x=0のときt=π、x=πのときt=0。

したがって、

　　

（２）　（１）より

　　

ここで、t=cosxとおくと、

　　

またx=0のときt=1、x=πのときt=−1。

したがって、

　　

（解答終了）

問題４

　　

とする。

次の□の中に文字、数を入れて、そのことを証明しなさい。

　　

【解】

（１）

　　

したがって、

　　

にkをとればいい。

このとき、

　　

だから、
　　

よって、□の中は1/√2、1/√2

（２）　1−k²sin²θのところが1−k²x²になっているんだから、x=sinθと置けというのでしょう。

x=0のときθ=0、x=1/2のときθ=π/6とすると、
　　

だから、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

ワンポイントゼミ 定積分の置換積分のグラフ

ワンポイントゼミ　定積分の置換積分のグラフ

のグラフ

f(x)の変化を調べるために、xで微分すると、

　　

分母である1+x²>0だから、y'の符合は分子である1−x²と同じ。

　　

だから、−1<x<1でf'(x)>0、x<−1とx>1でf'(x)>0。

そして、x=±1でf'(x)=0。

以上のことから、増減表は次のようになる。

y''の符合も、同様に、分子にと同じなので、

　　

から、凹凸表は次のようになる。

また、

　　

だから、漸近線はx=0。

以上のことから、この関数のグラフは下図のようになる。



なお、ここで、青い点は極値、赤い点は変曲点をあらわしている。

なのですが、この関数は

　　

となるので、奇関数。

つまり、この関数は原点に関して対称なので、この対称性を利用することも可能である。

のグラフ

根号内は0以上でなければならないので、

　　

また、

　　

したがって、増減表は

変曲点は(0,0)。

タグ：微分積分

定積分の置換積分法

定積分の置換積分法

§０　イントロ

次の定積分を考える。

問題０　次の定積分の値を求めよ。

　　

定積分の定義は、F(x)をf(x)の原始関数とすると、

　　

したがって、①の定積分を求めるためには、次の不定積分を求めなければならない。

　　

この不定積分を求めるには、t=x²+1とおくと、

　　

したがって、

　　

となり、t=x²+1を使って、tをxの関数に戻せば

　　

となる（積分定数は省略）。

したがって、①の定積分の値は

　　

と求めることができる。

ここで、②に注目して欲しい。

x=1のとき、t=2、x=0のときt=1だから、わざわざ、②をxの関数に戻す必要はなく

　　

と計算できる。

さらに、遡って

　　

だから、

　　

と計算できる。

つまり、t=x²+1とおくと

　　

と計算していいはずだ。

一般的に書くと、t=g(x)で、α=g(a)、β=g(b)のとき

　　

逆に、x=g(t)、a=g(α)、b=g(β)のとき、

　　

になるはずだ。

§１　定積分の置換積分法

x=g(t)とおくとき、a=g(α)、b=g(β)で、g(t)がα、βを両端とする区間で連続な導関数をもつならば、

　　

したがって、x=g(t)とおいたとき、

　　

t=g(x)とおいたとき、

　　

である。

問題１　次の定積分の値を求めよ。

【解答】

（１）　x=2tanθ（−π/2<θ<π/2）とおくと、x=0のときθ=0、x=2のとき、θ=π/4。

また、

　　

したがって、

　　

（２）　x=2sinθ（−π/2≦θ≦π/2）とおくと、x=0のときθ=0、x=2のときθ=π/2。

　　

したがって、

　　

（３）　x=3sinθとおくと、x=0のときθ=0、x=3/2のとき、θ=π/6。

したがって、

　　

（解答終了）

問題２　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　とおくと、x=1のときt=0、x=2のときt=1。

　　

また、

　　

したがって、
　　

（２）　t=4−x²とおくと、x=0のときt=4、x=2のときt=0。

　　

したがって、

　　

（解答終了）

（２）は、x=2sinθとおいて

　　

そして、cosθ=tとおくと、θ=0のときt=1、θ=π/2のときt=0。

　　

として、

　　

と、置換積分を２度使って計算することもできる。

タグ：微分積分

定積分の計算２ 三角関数

定積分の計算２　三角関数

三角関数を含む積分の計算には、以下に示す三角関数の公式が必要になることがある。

倍角公式

　　

そして、

　　

積和の公式

　　

三角関数の合成公式

　　

問題１　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　２倍角の公式より

　　

だから、

　　

（２）　m=nのとき

　　

よって、

　　

m≠nのとき

　　

だから、
　　

したがって、

　　

（３）

　　

したがって、
　　

（解答終了）

（２）と同様の計算をすることによって、

　　

となる。

結果をまとめると、

　　

そして、このことから、次のことが言える。

問題２

　　

とするとき、

　　

が成立するこを証明せよ。

【解】

lを正の整数とすると
　　

が成立する。
また、

　　

よって、
　　

したがって、

　　

（解答終了）

問題では有限項であるが、これを無限級数に拡張したものがフーリエ級数である。

タグ：微分積分

定積分の計算１

定積分の計算１

関数f(x)の原始関数をF(x)とするとき、関数f(x)のaからbへの定積分は

　　

である。

今回は、置換積分、部分積分法を用いずに求められる定積分の計算を中心に述べることにする。

問題１　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　(x+1)(x²−1)=x³+x−x−1と展開して、定積分の計算を行なう。

　　

（２）　この定積分は、

　　

と考え、
　　

と計算するとよい。

このようにすると、x=−2のとき、x+2=0になるので、計算の省力化がはかれ、計算間違いをする確率が低くなる。

（３）　この定積分を求めるには、絶対値を外す必要がある。

　　

のグラフは右の図のとおりだから、

　　

とすると、

　　

したがって、

（解答終了）

ちなみに、

　　

のグラフは次の通り。

問題２　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　x²+3x+1=(x+2)(x+1)−1だから

　　

よって、

　　

（２）　これは、次のように部分分数に分けて、計算する。

　　

この分解を頭の中でできないならば、

　　

これが任意のxで成立するので、

　　

を解けば、

　　

が出てくる。

したがって、

　　

（３）

　　

したがって、

　　

（解答終了）

（２）の定積分は、

　　

とおくと、f(−x)=f(x)となり、偶関数だから、

　　

として計算してもよい。

ここで１つ質問するが、

　　

の値は？

　　

とすると、f(−x)=−f(x)となり、f(x)は奇関数だから、

　　

または、

　　

だから、

　　

だろうか？

タグ：微分積分

定積分（数学３）

定積分（数学３）

§１　定積分の定義

関数f(x)は閉区間[a,b]で連続とする。この区間をn個の小区間に分け、その分割を

　　

とし、その小区間にそれぞれ任意の点をとって、和

　　

を作る。

このとき、おのおのの小区間の幅を0に近づくようにnの値を限りなく大きくすると、区間の分け方、小区間の点のとり方にかかわらず、和は一定の極限値に近づく。

この極限値を、関数f(x)のaからbまでの定積分といい、記号

　　

で表し、a、bをそれぞれ定積分の下端、および、上端という。

上の定義で、特に、分点を等間隔にとり、をその分点と一致するようにとると、

　　

である。

また、閉区間[a,b]内の点cを分点の１つにとり、[a,b]を[a,c]と[c,b]に分ければ、

　　

が成り立つ。

a<bとして定積分を定義したが、

a=bのとき

　　

a>bのとき

　　

また、定積分の重要な性質として、次のものがある。

定理

a<b、かつ、[a,b]でつねにf(x)≦g(x)のとき、つねにf(x)=g(x)でないかぎり、

　　

である。

 

§２　積分の平均値の定理と定積分と不定積分との関係

積分の平均値の定理を証明する前に、中間値の定理と最大値・最小値の定理。

中間値の定理

f(x)が有界閉区間[a,b]で連続で、f(a)≠f(b)であるならば、f(a)とf(b)の間のすべてのμに対して

　　

を満たすcが少なくとも１つ存在する。

最大値・最小値の定理

f(x)が有界閉区間I=[a,b]で連続ならば、f(x)はIで最大値と最小値をとる。

次に、積分の平均値の定理を紹介し、それを証明することにする。

積分の平均値の定理

関数f(x)が有界閉区間[a,b]において連続でならば、

　　

を満たすcが少なくともひとつ存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるとき、a<c<bであるすべてのcについて成立する。

f(x)が定数でないとき、a≦x≦bにおけるf(x)の最小値m=f(x₁)、最大値M=f(x₂)とする。

m≦f(x)≦Mだから、a<bのとき
　　

である。

　　

とすれば、m<f(μ)<M。

よって、中間値の定理より、f(c)=μを満たすcがx₁とx₂の間に少なくとも１つ存在する。

したがって、
　　

（証明終了）

幾何的に言うならば、積分の平均値の定理は、図のように曲線y=f(x)とx=a,x=b、x軸で囲まれた図形（斜線部）と長方形A'abB'の面積を等しくするような直線A'B'が存在することを意味している。

定理

f(x)の原始関数の１つをF(x)とするとき

　　

である。

【証明】

　　

とおく。

　　

積分の平均値の定理より

h<0のとき

　　

h<0のとき
　　

となるcが存在する。

いずれにせよ、

　　

h→0のとき、c→0で、f(x)は連続だから、

　　

よって、S(t)はf(t)の原始関数の１つ。

したがって、

　　

S(a)=0だから

　　

よって、

　　

（証明終了）

問題　積分の平均値の定理を用いて

　　

のとき
　　

となるθが存在することを証明せよ。

【解】

f(x)は閉区間[0,1]で連続で、積分の平均値の定理より

　　

となるcが存在する。

g(x)=sinxは0≦θ≦π/2で連続、かつ、g(0)=0、g(π/2)=1だから、中間値の定理より、0<c<1に関して

　　

となるθが存在する。

したがって、

　　

となるθが存在する。

（解答終了）

タグ：微分積分

微分方程式の応用２

微分方程式の応用２

 

問題１　曲線上の１点Pにおける法線がx軸と交わる点をN、Pからx軸におろした垂線の足をQとするとき、QNの長さを法線影という。法線影がつねに一定値aであるような曲線を求めよ。

【解】

曲線上の点Pの座標を(x,y)とすると、点Pにおける曲線の接線の方程式の傾きはである。したがって、点Pにおける法線の方程式は、

　　

法線とx軸と交わる点Nのx座標をXとすると、

　　

したがって、QNの長さは

　　

よって、
　　

（解答終了）

問題２　曲線上の１点Pにおける接線がx軸と交わる点をT、Pからx軸におろした垂線の足をQとするとき、QTの長さを接線影という。接線影がつねに一定の値aである曲線を求めよ。

【解】

曲線上の点Pの座標を(x,y)とすると、接線の方程式は

　　

よって、Tのx座標をXとすると、

　　

QTの長さは

　　

したがって、
　　

（解答終了）

正確に言うと関数方程式になるのだけれど、実質的に微分方程式なので次の微積分の総合問題を解くことにする。

問題　曲線y=f(x)（x≧0、y≧0）の上の動点Pからx軸、y軸に引いた垂線の足を、それぞれQ，Rとするとき、x軸、y軸、垂線PQ、曲線y=f(x)で囲まれた面積が、x軸、y軸,直線PR、直線x=1で囲まれた部分の面積よりもつねに２だけ小さいという。f(x)を求めよ。

ただし、f(x)はx≧0で微分可能とする。

【解】

x軸、y軸、垂線PQ、曲線y=f(x)で囲まれた面積は薄いピンクで示された図形の面積で、この面積S₁は

　　

x軸、y軸,直線PR、直線x=1で囲まれた部分の面積S₂は斜線部で示される図形の面積であり、

　　

問題の条件よりS₁=S₁−2だから

　　

両辺をxで微分すると

　　

y=0は解として不適だから、

　　

①より、x=0のとき

　　

したがって、

　　

よって、解は

　　

（解答終了）

問題４　関数y=f(x)はx≧0で増加する連続関数で、x>0のときf(x)>0とする。また、この関数のグラフは点(1,2)を通る直線で、次の性質をもつ。

曲線上の任意の点を通ってx軸、y軸にそれぞれ平行な２つの直線を引くとき、この２直線とx軸、y軸で囲まれる長方形の中で、曲線の下側の部分の面積は残りの部分の面積の２倍である。

この関数f(x)を求めよ。

【解】

曲線上の点Pの座標を(x,f(x))とし、点Pをとおりx軸に平行な直線とy軸との交点をR、Pを通りy軸と平行な直線とx軸との交点をQとする。

図に示すように、直線OR、直線RPと曲線y=f(x)で囲まれた図形の面積をS₁、直線OQ、直線QP、曲線y=f(x)で囲まれた図形の面積をS₂とする。

問題の条件より

　　

長方形OQPRの面積はxf(x)だから、

　　

したがって、

　　

S₂は

　　

よって、

　　

両辺をxで微分すると、

　　

この微分方程式をとくと

　　

この曲線は(1,2)を通るので

　　

よって、

　　

（解答終了）

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