ワンポイントゼミ１７

ワンポイントゼミ１７

これからしばらく積分の計算方法についての記事が続くので、それを補う形で、応用的な問題をワンポイントゼミで解くことにする。

問題　y=f(x)はすべてのxに対し、0<y<1かつを満足し、であるとする。

（１）　f(x)を求めよ。

（２）　を求めよ。

【考え方】

不定積分

　　

を求めるために、まず、被積分関数を部分分数に分解する必要がある。

そこで、まず

　　

として、両辺を比較することによって係数A、Bを求める。

そうすると、

　　

これが0<y<1のすべてのyについて成り立つためには、

　　

これから、A=1、B=−1になり、

　　

よって

　　

したがって、

　　

x=0のときy=2/3だから

　　

よって

　　

（２）のx→∞の極限を求めるにあたって、次のことに注意が必要。

a<0のとき

　　

a=0のときになるので

　　

a>0のとき

　　

したがって、

　　

は、

a<0のとき1

a=0のとき2/3

a>0のとき0

になる。

これをまとめて、解答を作ればよい。

不定積分（数学３）

不定積分（数学３）

§１　不定積分とは

関数f(x)に対して、導関数F'(x)がf(x)に等しい、すなわち、

　　

である関数F(x)を関数f(x)の原始関数または不定積分といい、

　　

であらわす。

また、不定積分を求めることをf(x)を積分するという。

F(x)をf(x)の不定積分の１つ、Cを定数とすると、

　　

だから、F(x)+Cもf(x)の不定積分である。

逆に、f(x)の任意の不定積分をG(x)とすると、

　　

よって、f(x)の不定積分の一つをF(x)、Cを任意の定数とすれば、f(x)のすべての不定積分は

　　

であらわされ、この定数Cを積分定数という。

 

§２　不定積分の基本公式

f(x)、g(x)をそれぞれF(x)、G(x)の導関数とすると、F'(x)=f(x)、G'(x)=g(x)だから、

　　

これより、積分定数Cを省略し

　　

が成立する。

また、

　　

さらに、

　　

指数関数については

　　

三角関数については

　　

§３　簡単な計算問題

問１　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】
　　

（解答終わり）

この問題の（４）のような分数関数の積分では、一度、部分分数に分解して計算をするとよい。

問題２　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】
　　

（解答終わり）

（２）では、３角関数の半角公式

　　

が使われている。

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