ワンポイントゼミ１８

ワンポイントゼミ１８

問題　関数F(x)の導関数はx³−3xで、F(0)=2である。

（１）　F(x)を求めよ。

（２）　F(x)の極大値と極小値を求めよ。

（３）　F(x)のグラフの概形をかけ。

【考え方】

（１）　関数F(x)の導関数はx³−3x。

つまり、

　　

したがって、不定積分の定義より

　　

F(0)=2だから、

　　

になり、

　　

（２）　F(x)が求まったので、極値を求めるために、求めたF(x)を微分するというのは、阿⑨の所業。これは問題文に既に

　　

と書いてある。

極値になる点では、F'(x)=0だから、

　　

したがって、極値になる可能性のある点のx座標はx=0、±√3。

極値の判定のために、第２次導関数を求めると、

　　

したがって、x=0のとき極大で極大値はF(0)=2。

x=±√3のとき、極小で、極大値は

　　

と判定することができる。

しかし、基本にかえって、増減表を書くことにする。




（３）

　　

だから、F(x)はx軸とx=±√2とy=±2で交わる。

また、

　　

だから、F(x)はx=±1で変曲点をもつ。凸凹表を書くと



したがって、グラフの概形は次のとおり。



この関数関数F(x)が偶関数、つまり、y軸に関して対称であることを利用すれば、この労力は半分になる。

タグ：微分積分

置換積分１

置換積分１

置換積分

とする。

x=g(t)とおくと、F(x)はtの関数F(g(t))となる。

よって、合成関数の微分より

　　

この両辺をｔで積分すると

　　

よって、

　　

これを置換積分法の公式という。

 

例１

　　

【解】

t=1−xとおくと、x=1−t。

よって、

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

問題　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

t=logxとおくと

　　

よって、

　　

（解答終わり）

t=g(x)のときは、①のxとtを入れ換えて、

　　

とし、次のように解くこともできる。

【別解】

t=logxとおき、両辺をxで微分すると

　　

したがって、

　　

（別解おわり）

なのですが、あたかも分数のごとく

　　

や

　　

と、形式的に考えると、何かと便利。

 

例２

　　

【解】

t=x²+1とおき、両辺をxで微分する。

　　

よって

　　

（解答終わり）

（※）

　　

つまり、分数のように

　　

と計算することができる。

 

例３　F'(x)=f(x)のとき、

　　

【解】

t=ax+bとおくと

　　

よって

　　

（解答終わり）

例４

　　

【解】

t=f(x)とおくと

　　

よって

　　

（解答終わり）

ちなみに例２は、例４の特殊なもので、f(x)=x²+1とすれば、例２の結果を得ることができる。

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