置換積分３

置換積分３

置換積分には、このタイプの積分には、このように変数を変換せよ、というものがあるので、その代表的なものを紹介することにする。

タイプ１　を含む積分

このタイプは

　　

とおき、

　　

と計算する。

 

問題１　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

とおくと

　　

よって

　　

（解答終了）

タイプ２　を含む積分

このタイプはx=asinθとおくと
　　

になる。

問題２　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

x=asinθとおくと

　　

また、x=asinθだから、−π/2≦θ≦π/2とすると、

　　

だから、

　　

（解答終了）

　　

を使うならば、

　　

おまけとして

問題３　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

x=atanθとおくと

　　

したがって、

　　

そして、

　　

とすると、

　　

よって、

　　

（解答おわり）

 

タイプ３　を含む積分

とおくと

　　

さらに、

　　

そして、さらに

　　

を使う。

 

問題４　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

　　

（解答終わり）

タイプ３の不定積分は、高校数学の範囲を逸脱しているので、おぼえる必要はないが、この方法を知らないと、このタイプの不定積分を求めることは極めて難しい。

こういうアクロバティックな変数の変換法があることを十分だと思う。
ただ、タイプ２の置換積分は、定積分で何度も登場するので、これだけはおぼえて欲しい。

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