部分積分

部分積分

f(x)、g(x)を微分可能な関数とすると、

　　

この両辺を積分すると
　　

これを部分積分の公式という。

例１

　　

f(x)=x、g'(x)=sinxと考えると、

　　

よって、
　　

①において、特にg(x)=xのとき

　　

例２

　　

問題１　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　f(x)=x、g'(x)=cosxと考えると、f'(x)=1、g(x)=sinx。

よって、

　　

（２）　と考えると、

よって、

　　

（３）　f(x)=logx、g'(x)=xと考えると、

　　

よって、

　　

（４）　f(x)=logx、g'(x)=1/xと考えると、f'(x)=1/x、g(x)=logx。

よって、

　　

これに積分定数を付けて

　　

（５）　f(x)=(logx)²、g'(x)=1と考えると、

よって、

　　

（解答終わり）

（４）については、置換積分を用いて、次のように解くこともできる。

【別解】

t=logxとおくと

　　

よって、

　　

（別解終了）

問題２　次の不定積分を求めよ。

　　

【解】

とすると、

よって、

　　

については、と考えて

　　

①に代入すると、

　　

積分定数を追加して

　　

（解答おわり）

①と②より

　　

と連立方程式が得られ、これを解くと

　　

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