難しい微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]
難しい微分方程式の解法
次の微分方程式があるとする。
高校の微分積分の枠内でこれを解くことはできないけれど、実はこの微分方程式の一般解を求めることはそれほど難しくない。
①の両辺に
をかけると
と、①の一般解を求めることができる。
このことを念頭に置き、次の問題を解くことにする。問題1
(1) 微分可能な任意の関数f(x)に対して
を満たすg(x)でg(0)=1であるものを求めよ。
(2) 次の微分方程式の解で、f(0)=1になるものを求めよ。
【解】
(1)
条件より、
任意のf(x)について①が成り立つので、
②を解くと
g(0)=1だからC=1。
よって、
(2) (1)で求めたを微分方程式にかけると
f(0)=1だから、
(解答終了)
念のために、が微分方程式の解であるか確かめてみると、
となる。
また、問題1の(2)は、先に紹介した微分方程式
のP(x)=1、Q=x+1とおいた特殊なものである。
ちなみに、
問題2
微分方程式の一般解は
であることを証明せよ。ただし、A、αは任意の定数とする。
【解】
とおくと、
よって、
は
と書き換えられる。
u²≧0だから、C≧0
とおくと、
したがって
ここで、
とおくと
(解答終了)
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