微分方程式の応用１

微分方程式の応用１

問題１　曲線上の１点Pにおけるその接線がx軸と交わる点をTとするとき、線分PTがいつもy軸によって２等分されるという。この曲線を求めよ。

【解】

曲線上の点Pの座標を(x,y)、Pにおける接線上の点を（X,Y)とすると、接線の方程式は

　　

この接線とx軸との交点Tの座標(X,0)を求めると

　　

y軸は線分PTを２等分するので、線分PTの中点Mのx座標は0。

すなわち、

　　

①と②より

　　

これを解くと

　　

したがって、曲線は原点を頂点とし、x軸を軸とする放物線である。

（解答終了）

 

問題２　曲線上の１点Pからx軸、y軸におろした垂線の足をQ、Rとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　Pにおける接線がいつも直線QRと平行になっている曲線を求めよ。

（２）　Pにおける接線がいつも直線QRと垂直になっている曲線を求めよ。

（３）　Pにおける接線と直線QRとの交点をSとするとき、Sがy軸に平行な一定直線x=aの上にある曲線を求めよ。

【解】

曲線上の点Pの座標を(x,y)とする。

（１）　Qの座標は(x,0)、Rの座標は(0,y)だから直線QRの傾きは

　　

直線QRと点Pにおける接線が平行だから、直線QRと接線の傾きは等しい。

すなわち、

（２）　点Pにおける曲線の接線と直線QRが垂直だから、接線の傾きと直線QRの傾きの積は−1である。

すなわち、

　　

（３）　点Pにおける曲線の接線の方程式は、とすると、

　　

また、直線QRの方程式は

　　

交点SではX=aだから

　　

Yを消去すると

　　

よって、
　　

（解答終了）

問題３　次の曲線群のすべてと直角に交わるような曲線の方程式を求めよ。

（１）　y²=4px　　（pは任意定数でp≠0）

（２）　xy=a　　　（aは任意定数でa≠0）

【解】

（１）　
y²=4pxをxで微分すると

　　

両辺にxをかけると

　　

xy≠0とすると、

　　

P(x,y)でy²=4pxと直角に交わる曲線の傾きをとすると、

　　

この微分方程式を解くと、

　　

xy=0のとき、y²=4pxの接線はy軸だから、これに直交する曲線はx軸、すなわち、y=0。

よって、求める曲線は、

　　

または、y=0である。

（２）　xy=aをxで微分すると

　　

P(x,y)でxy=aと直交する曲線の傾きをとすると、

　　

これを解くと、

　　

（解答終了）

タグ：微分積分