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定積分(数学3) [ネコ騙し数学]

定積分(数学3)


§1 定積分の定義


関数f(x)は閉区間[a,b]で連続とする。この区間をn個の小区間に分け、その分割を

  

とし、その小区間にそれぞれ任意の点をとって、和

  

を作る。

このとき、おのおのの小区間の幅を0に近づくようにnの値を限りなく大きくすると、区間の分け方、小区間の点のとり方にかかわらず、和は一定の極限値に近づく。

この極限値を、関数f(x)aからbまでの定積分といい、記号

  

で表し、abをそれぞれ定積分の下端、および、上端という。


上の定義で、特に、分点を等間隔にとり、をその分点と一致するようにとると、

  

である。

また、閉区間[a,b]内の点cを分点の1つにとり、[a,b][a,c][c,b]に分ければ、

  

が成り立つ。

a<bとして定積分を定義したが、

a=bのとき

  

a>bのとき

  


また、定積分の重要な性質として、次のものがある。


定理

a<b、かつ、[a,b]でつねにf(x)≦g(x)のとき、つねにf(x)=g(x)でないかぎり、

  

である。

 


§2 積分の平均値の定理と定積分と不定積分との関係


積分の平均値の定理を証明する前に、中間値の定理と最大値・最小値の定理。


中間値の定理

f(x)が有界閉区間[a,b]で連続で、f(a)≠f(b)であるならば、f(a)f(b)の間のすべてのμに対して

  

を満たすcが少なくとも1つ存在する。

ts-fig-01.png


最大値・最小値の定理

f(x)が有界閉区間I=[a,b]で連続ならば、f(x)Iで最大値と最小値をとる。

ts-fig-02.png


次に、積分の平均値の定理を紹介し、それを証明することにする。


積分の平均値の定理

関数f(x)が有界閉区間[a,b]において連続でならば、

  

を満たすcが少なくともひとつ存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるとき、a<c<bであるすべてのcについて成立する。

f(x)が定数でないとき、a≦x≦bにおけるf(x)の最小値m=f(x₁)、最大値M=f(x₂)とする。

m≦f(x)≦Mだから、a<bのとき
  ts-02.png

である。

  

とすれば、m<f(μ)<M

よって、中間値の定理より、f(c)=μを満たすcx₁x₂の間に少なくとも1つ存在する。

したがって、
  ts-00.png

(証明終了)


幾何的に言うならば、積分の平均値の定理は、図のように曲線y=f(x)x=a,x=bx軸で囲まれた図形(斜線部)と長方形A'abB'の面積を等しくするような直線A'B'が存在することを意味している。

graph-260.png


定理

f(x)の原始関数の1つをF(x)とするとき

  

である。

【証明】

  

とおく。

  

積分の平均値の定理より

h<0のとき

  

h<0のとき
  

となるcが存在する。

いずれにせよ、

  

h→0のとき、c→0で、f(x)は連続だから、

  

よって、S(t)f(t)の原始関数の1つ。

したがって、

  

S(a)=0だから

  

よって、

  

(証明終了)


問題 積分の平均値の定理を用いて

  

のとき
  ts-04.png

となるθが存在することを証明せよ。

【解】

f(x)は閉区間[0,1]で連続で、積分の平均値の定理より

  

となるcが存在する。

g(x)=sinx0≦θ≦π/2で連続、かつ、g(0)=0g(π/2)=1だから、中間値の定理より、0<c<1に関して

  

となるθが存在する。

したがって、

  ts-06.png

となるθが存在する。

(解答終了)
タグ:微分積分

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