定積分の計算２ 三角関数

定積分の計算２　三角関数

三角関数を含む積分の計算には、以下に示す三角関数の公式が必要になることがある。

倍角公式

　　

そして、

　　

積和の公式

　　

三角関数の合成公式

　　

問題１　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　２倍角の公式より

　　

だから、

　　

（２）　m=nのとき

　　

よって、

　　

m≠nのとき

　　

だから、
　　

したがって、

　　

（３）

　　

したがって、
　　

（解答終了）

（２）と同様の計算をすることによって、

　　

となる。

結果をまとめると、

　　

そして、このことから、次のことが言える。

問題２

　　

とするとき、

　　

が成立するこを証明せよ。

【解】

lを正の整数とすると
　　

が成立する。
また、

　　

よって、
　　

したがって、

　　

（解答終了）

問題では有限項であるが、これを無限級数に拡張したものがフーリエ級数である。

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