定積分の置換積分法２

定積分の置換積分法２

問題１　次の公式が成り立つことを証明せよ。

　　

f(x)=f(a−x)のときは

　　

f(a−x)=−f(x)のときは

　　

【解】

t=a−xとおくと、dt=−dx。

また、x=0のときt=a、x=aのときt=0。

したがって、

　　

t=a/2−xとおくと、dt=−dx。

次に、

　　

右辺第２項の定積分は、t=a−xとおくと、x=a/2のときt=a/2、x=aのときt=0、

　　

したがって、f(x)=f(a−x)ならば

f(a−x)=−f(x)ならば

　　

（解答終了）

（１）より

　　

問題２

（１）　次の等式を証明せよ。

　　

（２）　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

右辺第１項は、x=−tとおくとdx=−dt。x=−aのときt=a、x=0のとき0。

したがって、

　　

よって、

　　

（２）　（１）より

　　

（解答終了）

問題３

（１）　f(x)が0≦x≦1で連続な関数のとき、次の等式を証明せよ。

　　

（２）　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）　x=π−tとおくと、dx=−dt。x=0のときt=π、x=πのときt=0。

したがって、

　　

（２）　（１）より

　　

ここで、t=cosxとおくと、

　　

またx=0のときt=1、x=πのときt=−1。

したがって、

　　

（解答終了）

問題４

　　

とする。

次の□の中に文字、数を入れて、そのことを証明しなさい。

　　

【解】

（１）

　　

したがって、

　　

にkをとればいい。

このとき、

　　

だから、
　　

よって、□の中は1/√2、1/√2

（２）　1−k²sin²θのところが1−k²x²になっているんだから、x=sinθと置けというのでしょう。

x=0のときθ=0、x=1/2のときθ=π/6とすると、
　　

だから、

　　

（解答終了）

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