定積分の部分積分法

定積分の部分積分法

f(x)、g(x)が閉区間[a,b]で連続な導関数を有するものとすると

　　

したがって、

　　

特に、g(x)=xのとき、g'(x)=1だから

　　

である。

 

問題１　次の不定積分の値を求めよ。

【解】

（１）

　　

（２）

　　

（３）
　　

と考え、

　　

（４）

　　

（解答終了）

 

問題２　次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）

　　

（３）　√x=tとおくｔ、x=t²、dx=2tdt。また、x=0のときt=0、x=1のときt=1。

したがって、

　　

（解答終了）

この問題２のように、数回、部分積分をしたり、置換積分と部分積分を組み合わせて、定積分の値を求める場合がある。

問題３　次の定積分を求めよ。

　　

【解】
　　

（解答終了）

 

　　

とし、上の計算の途中で

　　

とする。

そして、

　　

①に②を代入すると

　　

この結果を②に代入すると、

　　

と、この２つを同時に求めることができる。

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