定積分の漸化式

定積分の漸化式

問題１

　　

（１）　I₁を計算せよ。

（２）　次の不等式を証明せよ。

　　

（３）　n>2のとき

　　

を証明せよ。

【解】

（１）

　　

（２）　0≦x≦1だから1≦1+x²≦2。

よって、

　　

ゆえに、

　　

（３）

　　

（解答終了）

少し説明すると、（１）の積分では

　　

を使っている。

この場合、f(x)=1+x²とすると、f'(x)=2xになるので、

　　

t=1+x²とおくと、dt/2=xdx。x=0のときt=1、x=1のときt=2だから、

　　

と、置換積分を使って計算をしてもよい。

（２）では、a≦x≦bにおいて、f(x)≦g(x)ならば、恒等的にf(x)=g(x)でなければ

　　

を使っている。

また、

　　

かつ、

　　

だから、

　　

である。

 

問題２

　　

を示し、nが正の整数であるとき、この積分の値を求めよ。

【解】

　　
とおくと、dx=-dθ。x=0のときθ=π/2、x=π/2のときθ=0。

よって、

　　
とすると、

　　

よって、nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

I₀、I₁を計算すると
　　

したがって、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

（解答終了）

問題２の結果を用いると、

　　

と簡単に計算することができる。

問題３

　　

について、

　　
を求め、それを利用して、nが正の整数のときのを求めよ。

【解】
　　

ここで、

　　

したがって、

　　

nが奇数のとき

　　

nが偶数のとき

　　

（解答終了）

タグ：微分積分