定積分と不等式１

定積分と不等式１

問題１　a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。

　　

【解】
　　

とおくと、b=c²+2、a>0、b>0。

　　

よって、

（解答終了）

 

等号が成立するのは

　　

また、

　　

とおくと、関数gは関数fの逆関数。

このことに注目すると、
　　

abは斜線部の面積S、はピンク色の部分の面積S₁、は薄紫色の部分の面積S₂に相当するので、S≦S₁+S₂となり、①が成立する。

問題２　次の不等式を証明せよ。

　　

【解】

（１）　0<x<1/2で

　　

したがって、
　　

ここで、

　　

では、x=sinθ（−π/2≦θ≦π/2）とすると、

　　

x=0のときθ=0、x=1/2のときθ=π/6。

したがって、

　　

（２）

　　

0<x<1では

　　

よって、0<x<1では

　　

（３）

　　

また、cosxは0<x<π/2において減少関数だから

　　

したがって、
　　

（解答終了）

類題　次の不等式を証明せよ。

　　

（ヒント）

　　

問題３

（１）　すべての正の数xに対して、不等式

　　

が成り立つことを証明せよ。

（２）　[0,1]で正の値をとる連続関数f(x)が条件

　　

を満たすとき、不等式

　　

が成り立つことを証明せよ。

【解】

（１）

　　

とおき、xで微分すると、

　　

よって、g(x)はx=1のとき極小かつ最小。

　　

（２）　[0,1]でf(x)>0だから、（１）より[0,1]において

　　

が成立。

したがって

　　

（解答終了）

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