定積分と不等式1 [ネコ騙し数学]
定積分と不等式1
問題1 a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。
【解】
とおくと、b=c²+2、a>0、b>0。
よって、
(解答終了)
等号が成立するのは
また、
とおくと、関数gは関数fの逆関数。
このことに注目すると、
abは斜線部の面積S、はピンク色の部分の面積S₁、は薄紫色の部分の面積S₂に相当するので、S≦S₁+S₂となり、①が成立する。
問題2 次の不等式を証明せよ。
【解】
(1) 0<x<1/2で
したがって、
ここで、
では、x=sinθ(−π/2≦θ≦π/2)とすると、
x=0のときθ=0、x=1/2のときθ=π/6。
したがって、
(2)
0<x<1では
よって、0<x<1では
また、cosxは0<x<π/2において減少関数だから
したがって、
(解答終了)
類題 次の不等式を証明せよ。
(ヒント)
問題3
(1) すべての正の数xに対して、不等式が成り立つことを証明せよ。
(2) [0,1]で正の値をとる連続関数f(x)が条件
を満たすとき、不等式
が成り立つことを証明せよ。
【解】
(1)とおき、xで微分すると、
よって、g(x)はx=1のとき極小かつ最小。
(2) [0,1]でf(x)>0だから、(1)より[0,1]において
が成立。
したがって
(解答終了)
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